کسرهای مرکب: کسریهای چندلایه و شگفتانگیز
کسر مرکب چیست؟ تشخیص و ساختار
فرض کنید یک پیتزا داریم. نصف ($\frac{1}{2}$) این پیتزا را بین سه دوست تقسیم کنید. سهم هر دوست چقدر میشود؟ پاسخ، یک کسر مرکب است: $\frac{\frac{1}{2}}{3}$. این یعنی «نصف، تقسیم بر ۳». به چنین کسری که خودش کسری در صورتش دارد، کسر مرکب میگوییم.
کسر مرکب میتواند در هر سه حالت زیر ظاهر شود:
| نوع کسر مرکب | نماد ریاضی | مثال ملموس |
|---|---|---|
| کسر در صورت | $\frac{\frac{a}{b}}{c}$ | سهم هر نفر از $\frac{2}{3}$ یک شکلات که بین 4 نفر تقسیم میشود. |
| کسر در مخرج | $\frac{a}{\frac{b}{c}}$ | چند سیب کامل معادل 5 واحدِ «یکسوم سیب» است؟ |
| کسر در صورت و مخرج | $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ | نسبت شیر به آرد در یک دستور پخت، وقتی هر دو به صورت کسری بیان شدهاند. |
مثال:$\frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3$
دو روش طلایی برای ساده کردن کسر مرکب
برای ساده کردن کسر مرکب و تبدیل آن به یک کسر ساده، دو راه اصلی داریم:
روش اول: استفاده از قانون تقسیم کسرها
یادتان هست که برای تقسیم دو کسر، کسر اول را در معکوس3 کسر دوم ضرب میکنیم. این قانون در اینجا هم کاربرد دارد. کسر مرکب را به صورت یک تقسیم مینویسیم و حل میکنیم.
مثال: کسر مرکب $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$ را ساده کنید.
گامبهگام: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12}$. حالا میتوانیم کسر $\frac{10}{12}$ را با تقسیم بر 2 سادهتر کنیم: $\frac{5}{6}$.
روش دوم: یکسان کردن مخرجها با کوچکترین مخرج مشترک
در این روش، برای همه کسرهای داخل صورت و مخرج، مخرج مشترک میگیریم تا آنها به اعداد صحیح تبدیل شوند.
مثال: همان کسر $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$ را در نظر بگیرید. کوچکترین مخرج مشترک برای کسرهای $\frac{2}{3}$ و $\frac{4}{5}$، عدد 15 است.
- کل کسر مرکب را در $\frac{15}{15}$ (که معادل عدد 1 است) ضرب میکنیم: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} \times \frac{15}{15}$
- عدد 15 را داخل صورت و مخرج توزیع میکنیم (ضرب میکنیم):
$= \frac{15 \times \frac{2}{3}}{15 \times \frac{4}{5}} = \frac{\frac{30}{3}}{\frac{60}{5}} = \frac{10}{12}$ - حالا دوباره به کسر ساده $\frac{10}{12}$ یا $\frac{5}{6}$ رسیدیم.
کجا با کسر مرکب سر و کار داریم؟ از آشپزخانه تا مغازه
این مفهوم فقط در کتاب ریاضی نیست. در زندگی روزمره هم مثالهای جالبی دارد:
مثال: نصف کردن نصف! دستور پخت کیکی را در نظر بگیرید که برای 6 نفر است. اما شما میخواهید فقط برای 3 نفر بپزید. پس باید همه مواد را در $\frac{1}{2}$ ضرب کنید. حالا اگر در دستور نوشته باشد «$\frac{2}{3}$ پیمانه شیر»، مقدار جدید شیر شما میشود: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$. این یک ضرب ساده است. اما اگر بخواهید مقدار جدید شیر را بر تعداد نفرات جدید تقسیم کنید، ممکن است به عبارتی مانند $\frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}{3}$ برسید که یک کسر مرکب است!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، این کار اشتباه است. شما نمیتوانید به طور مستقیم 2 را از صورت کسر $\frac{2}{3}$ و 5 را از مخرج کسر $\frac{4}{5}$ با هم ساده کنید. ابتدا باید کل کسر مرکب را به یک عبارت تقسیم یا ضرب تبدیل کنید، سپس عملیات را انجام دهید.
پاسخ: عدد صحیح را میتوان به صورت کسری با مخرج 1 نوشت ($\frac{2}{1}$). سپس از قانون تقسیم استفاده کنید: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.
پاسخ: معمولاً روش تقسیم (ضرب در معکوس) سریعتر و سادهتر است. اما روش مخرج مشترک وقتی مفید است که با چندین کسر سر و کار داشته باشید یا مفهوم یکسان کردن مخرجها برایتان ملموستر باشد. انتخاب روش به سلیقه شما بستگی دارد.
پاورقی
1کسر مرکب (Complex Fraction): به کسری اطلاق میشود که صورت، مخرج یا هر دوی آنها خود شامل یک یا چند کسر دیگر باشند.
2کوچکترین مخرج مشترک (Least Common Denominator - LCD): کوچکترین عددی که مخرجهای دو یا چند کسر بر آن بخشپذیر باشند. برای جمع، تفریق و مقایسه کسرها از این مفهوم استفاده میشود.
3معکوس (Reciprocal): معکوس یک کسر $\frac{a}{b}$ (به شرط $a \neq 0$ و $b \neq 0$) برابر است با $\frac{b}{a}$، یعنی جای صورت و مخرج عوض میشود.
