حذف عوامل مشترک: جادوی سادهسازی در محاسبات
عامل مشترک چیست و چگونه آن را تشخیص دهیم؟
بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم. فرض کنید یک کیک دارید که آن را به 12 تکه مساوی تقسیم کردهاید. دوست شما 4 تکه و شما 8 تکه از آن را میخورید. سهم هر دوی شما از کل کیک چقدر است؟ دوست شما $\frac{4}{12}$ و شما $\frac{8}{12}$ کیک را خوردید. به اعداد 4، 8 و 12 دقت کنید. هر سه بر عدد 4 بخشپذیرند. به این عدد 4، یک عامل مشترک1 میگویند.
در ریاضیات، عامل به معنای عددی است که عدد دیگر بر آن بخشپذیر باشد. وقتی یک عدد بتواند دو یا چند عدد مختلف را به طور کامل تقسیم کند، به آن عامل مشترک آن اعداد میگوییم. تشخیص عوامل مشترک پایهایترین گام برای سادهسازی است.
| اعداد | برخی عوامل مشترک | بزرگترین عامل مشترک (ب.م.م) |
|---|---|---|
| 8 و 12 | 1, 2, 4 | 4 |
| 15 و 25 | 1, 5 | 5 |
| 18، 24 و 30 | 1, 2, 3, 6 | 6 |
چگونه با حذف عوامل مشترک، کسرها را ساده کنیم؟
سادهسازی کسر یعنی آن را به کوچکترین شکل ممکن بنویسیم، طوری که دیگر نتوان عددی پیدا کرد که هم صورت و هم مخرج2 بر آن بخشپذیر باشند. این کار دقیقاً با حذف عامل مشترک از صورت و مخرج انجام میشود.
مثال گامبهگام: کسر $\frac{12}{18}$ را ساده کنید.
گام ۱: اعداد صورت (12) و مخرج (18) را بنویسید.
گام ۲: عوامل مشترک آنها را پیدا کنید: اعداد 1, 2, 3, 6.
گام ۳: بزرگترین عامل مشترک (6) را انتخاب کنید (میتوانید به تدریج نیز حذف کنید، مثلاً اول بر 2 و سپس بر 3 تقسیم کنید).
گام ۴: هم صورت و هم مخرج را بر 6 تقسیم کنید: $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.
گام ۵: بررسی کنید: آیا برای $\frac{2}{3}$ عامل مشترک دیگری جز 1 وجود دارد؟ خیر. پس کار تمام است. نتیجه: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
در زندگی واقعی، این مانند آن است که بگوییم 12 تکه از 18 تکه کیک، دقیقاً معادل 2 قسمت از 3 قسمت مساوی از یک کیک کامل است.
حذف عوامل مشترک در ضرب و تقسیم کسرها
این تکنیک در عملهای ضرب و تقسیم کسرها بسیار کارآمد است و به ما اجازه میدهد قبل از انجام ضرب یا تقسیم اصلی، محاسبات را سادهتر کنیم. این کار احتمال اشتباه را کم و سرعت را زیاد میکند.
مثال ضرب:$\frac{3}{10} \times \frac{5}{9}$ را حساب کنید.
به جای ضرب مستقیم (که میشود $\frac{15}{90}$ و سپس ساده کردن $\frac{1}{6}$)، میتوانیم عوامل مشترک بین صورت یک کسر و مخرج کسر دیگر را حذف کنیم. اینجا 3 (از صورت کسر اول) با 9 (از مخرج کسر دوم) عامل مشترک دارند (هر دو بر 3 بخشپذیرند). همچنین 5 (از صورت کسر دوم) با 10 (از مخرج کسر اول) عامل مشترک دارند (هر دو بر 5 بخشپذیرند).
پس مینویسیم: $\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{10}_2} \times \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$.
همان جواب، اما با محاسبات ذهنی سادهتر!
سادهسازی عبارتهای جبری با یک عامل مشترک
در جبر، ایده همان است، اما به جای اعداد خالص، با عبارتهای حرفدار سروکار داریم. عامل مشترک میتواند یک عدد، یک حرف (متغیر3) یا ترکیبی از هر دو باشد.
مثال: عبارت $\frac{6x^2 y}{9x y^2}$ را ساده کنید.
گام ۱: بخش عددی: 6 و 9 عامل مشترک 3 دارند. پس $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
گام ۲: بخش حرف $x$: در صورت $x^2$ (یعنی $x \times x$) و در مخرج $x$ داریم. یک $x$ مشترک را حذف میکنیم. میماند $\frac{x}{1}$ در صورت.
گام ۳: بخش حرف $y$: در صورت $y$ و در مخرج $y^2$ (یعنی $y \times y$) داریم. یک $y$ مشترک را حذف میکنیم. میماند $\frac{1}{y}$ در مخرج.
گام ۴: همه قسمتها را کنار هم میگذاریم: $\frac{2}{3} \times \frac{x}{1} \times \frac{1}{y} = \frac{2x}{3y}$.
پاسخ نهایی: $\frac{6x^2 y}{9x y^2} = \frac{2x}{3y}$.
مثال عملی: تنظیم نسبت مواد در آشپزی
فرض کنید دستور پخت کیکی برای 4 نفر نیاز به $\frac{3}{4}$ پیمانه شکر و $\frac{1}{2}$ پیمانه کره دارد. شما میخواهید این دستور را برای 6 نفر تنظیم کنید. نسبت مواد باید چگونه باشد؟
ضریب افزایش: $\frac{6}{4}$. این کسر را ساده میکنیم: عامل مشترک 2 را حذف میکنیم: $\frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2}$.
حالا هر مقدار ماده را در $\frac{3}{2}$ ضرب میکنیم:
• شکر جدید: $\frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$ پیمانه. میتوانیم این را به عدد مخلوط $1\frac{1}{8}$ پیمانه تبدیل کنیم.
• کره جدید: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ پیمانه.
با سادهسازی اولیه کسر $\frac{6}{4}$، ضربهای بعدی را راحتتر کردیم.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ:هشدار! خیر، مطلقاً نه. حذف عوامل مشترک فقط در ضرب و تقسیم (وقتی عاملها در صورت یک کسر و مخرج کسر دیگر هستند) مجاز است. در جمع و تفریق، مخرجها نشاندهندهٔ «تقسیمبندی یک کل واحد» هستند و نمیتوان آنها را حذف کرد. راه صحیح: $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5}=1$.
پاسخ: خیر. ابتدا باید عملیات داخل صورت (یا مخرج) را کامل کنید، سپس به دنبال عامل مشترک بگردید. در مثال $\frac{2+4}{6} = \frac{6}{6}=1$. اما اگر بنویسیم $\frac{2}{6} + \frac{4}{6}$، این یک اشتباه رایج است چون این دو کسر جداگانهاند و قبل از جمع نمیتوان $6$ها را حذف کرد.
پاسخ: خیر. عامل مشترک باید یک عامل ضربی در تمام اجزای صورت باشد. در اینجا، صورت $x+3$ حاصل جمع است. عدد $3$ تنها در یک از اجزا وجود دارد. پس این عبارت به شکل $\frac{x}{3} + 1$ ساده میشود، اما $3$ها قابل حذف نیستند.
پاورقی
1عامل مشترک (Common Factor): عدد یا عبارتی که بر دو یا چند عدد یا عبارت دیگر به طور کامل بخشپذیر باشد.
2صورت (Numerator): عدد بالای خط کسر. مخرج (Denominator): عدد زیر خط کسر.
3متغیر (Variable): حرفی (مانند $x, y$) که در ریاضیات نمایندهٔ یک عدد ناشناخته یا قابل تغییر است.
