هم‌نهشتی دو مثلث در حالت سه ضلع: تساوی دو مثلث در صورت تساوی سه ضلع متناظر

بروزرسانی شده در: 11:07 1404/09/6 مشاهده: 2 دسته بندی: کپسول آموزشی

هم‌نهشتی مثلث‌ها: وقتی شکل‌ها عیناً یکسان می‌شوند

کشف راز تساوی کامل مثلث‌ها با قاعده سه ضلع

در دنیای هندسه، هم‌نهشتی^[1] مثلث‌ها به این معناست که دو مثلث از هر نظر با هم برابر و قابل انطباق هستند. یکی از مهم‌ترین قواعد برای تشخیص این هم‌نهشتی، حالت سه ضلع است که بر اساس تساوی طول‌های سه ضلع متناظر عمل می‌کند. این مقاله به زبان ساده، این اصل را همراه با مثال‌های ملموس از زندگی روزمره توضیح می‌دهد و با ارائه جدول مقایسه‌ای و پاسخ به پرسش‌های رایج، درک این مفهوم پایه‌ای هندسه را برای دانش‌آموزان تسهیل می‌نماید.

هم‌نهشتی چیست و چرا مهم است؟

فرض کنید دو برگه کاغذ برمی‌دارید و هر دو را دقیقاً به یک شکل و اندازه، مثلاً یک مثلث، قیچی می‌کنید. این دو مثلث کاغذی را می‌توانید کاملاً روی هم قرار دهید، طوری که هیچ قسمتی از یکی از دیگری بیرون نزند. به این دو شکل، هم‌نهشت می‌گوییم. در هندسه، هم‌نهشتی یعنی دو شکل، هم‌اندازه و هم‌شکل هستند. برای مثلث‌ها، چند حالت مختلف برای تشخیص هم‌نهشتی وجود دارد که ساده‌ترین و مستقیم‌ترین آن، حالت سه ضلع یا $SSS$^[2] است.

قاعده هم‌نهشتی سه ضلع (SSS): اگر سه ضلع یک مثلث، به ترتیب با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث حتماً با هم هم‌نهشت هستند.
به زبان ریاضی: اگر در مثلث $ABC$ و مثلث $DEF$ داشته باشیم:
$AB = DE$ ، $BC = EF$ و $AC = DF$
در این صورت: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

مقایسه حالت‌های مختلف هم‌نهشتی مثلث‌ها

هم‌نهشتی مثلث‌ها فقط به حالت سه ضلع محدود نمی‌شود. در جدول زیر، مهم‌ترین حالت‌های هم‌نهشتی را با هم مقایسه می‌کنیم:

نام حالت	شرایط لازم	نماد	مثال کاربردی
سه ضلع (مورد بحث)	تساوی سه ضلع متناظر	SSS	سه میله با طول‌های مشخص برای ساخت یک قاب مثلثی ثابت
دو ضلع و زاویه بین	تساوی دو ضلع و زاویه بین آن‌ها	SAS	باز و بسته کردن یک لولای در با زاویه ثابت
دو زاویه و ضلع بین	تساوی دو زاویه و ضلع بین آن‌ها	ASA	برش دو زاویه و یک ضلع مشخص از یک شیشه

هم‌نهشتی سه ضلع در زندگی روزمره

این مفهوم انتزاعی، کاربردهای بسیار ملموسی در اطراف ما دارد. یک آچار فرانسه را در نظر بگیرید. فک‌های این آچار یک مثلث تشکیل می‌دهند. اگر شما دو آچار فرانسه از یک مدل و برند بخرید، مثلث تشکیل‌شده توسط فک‌های هر دو، هم‌نهشت هستند زیرا طول‌های اضلاع آن‌ها (یعنی اندازه فک‌ها و فاصله بین آن‌ها) در هر دو آچار یکسان است. این یعنی هر دو آچار می‌توانند مهره‌های هم‌اندازه را باز کنند.

مثال دیگر، ساخت قاب‌های مثلثی برای داربست یا دکوراسیون است. اگر کارگری سه تیرک فلزی با طول‌های 3، 4 و 5 متر بردارد و با آن‌ها یک مثلث بسازد، و کارگر دیگری در نقطه‌ای دیگر با سه تیرک هم‌اندازه، مثلثی دیگر بسازد، این دو مثلث حتماً هم‌نهشت و در نتیجه، کاملاً یکسان و با پایداری یکسان خواهند بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا اگر سه زاویه‌ی یک مثلث با سه زاویه‌ی مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث هم‌نهشت هستند؟

پاسخ: خیر. تساوی سه زاویه فقط نشان می‌دهد که دو مثلث هم‌شکل^[3] هستند، نه لزوماً هم‌اندازه. برای مثال، یک نقشه‌ی یک شهر و ماکت کوچک‌شده‌ی آن، هم‌شکل هستند زیرا زاویه‌ها یکسان است، اما هم‌اندازه نیستند. برای هم‌نهشتی، تساوی حداقل یک ضلع (در کنار دیگر اجزا) لازم است.

سوال: ترتیب نوشتن حروف در نماد هم‌نهشتی (مثل $\triangle ABC \cong \triangle DEF$) چقدر مهم است؟

پاسخ: بسیار مهم است. ترتیب حروف نشان می‌دهد که کدام رأس‌ها و اضلاع با هم متناظرند. در این مثال، رأس A با رأس D، رأس B با E و رأس C با F متناظر است. پس باید حتماً بررسی کنیم که AB=DE، BC=EF و AC=DF باشد.

سوال: آیا قاعده SSS برای همه‌ی انواع مثلث‌ها (مانث متساوی‌الاضلاع، متساوی‌الساقین و مختلف‌الاضلاع) صدق می‌کند؟

پاسخ: بله، قاعده هم‌نهشتی سه ضلع یک قاعده کلی است و برای همه انواع مثلث‌ها صادق است. مهم نیست مثلث چه شکلی باشد؛ اگر سه ضلعش با سه ضلع مثلث دیگری برابر باشد، آن دو مثلث حتماً هم‌نهشت هستند.

جمع‌بندی: قاعده هم‌نهشتی سه ضلع (SSS) یک ابزار بسیار مطمئن و ساده در هندسه است. این قاعده می‌گوید اگر بتوانیم برای دو مثلث، سه جفت ضلع متناظر و برابر پیدا کنیم، بدون اینکه حتی نیاز به دانستن اندازه‌ی زاویه‌ها داشته باشیم، می‌توانیم مطمئن باشیم که آن دو مثلث در همه‌ی aspects (اضلاع، زاویه‌ها، مساحت و محیط) کاملاً یکسان و قابل انطباق بر روی هم هستند. این مفهوم نه تنها در حل مسائل ریاضی، بلکه در درک ساختارهای پایدار در معماری، مهندسی و طراحی نیز بنیادی است.

پاورقی

^[1]هم‌نهشتی (Congruence): به حالتی گفته می‌شود که دو شکل هندسی را بتوان با استفاده از انتقال، دوران یا بازتاب، دقیقاً بر روی هم منطبق کرد.
^[2]SSS: مخفف Side-Side-Side به معنای "ضلع-ضلع-ضلع".
^[3]هم‌شکل (Similar): به دو شکلی گفته می‌شود که زاویه‌های متناظرشان برابر و اضلاع متناظرشان متناسب باشند، ولی لزوماً اندازه‌ی یکسانی نداشته باشند.

هم‌نهشتی مثلث‌هاحالت سه ضلعقاعده SSSهندسه پایه هشتممثلث‌های مساوی

پایهٔ هشتم ریاضی هشتم هم‌نهشتی دو مثلث در حالت سه ضلع

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!