تقسیم عبارتهای گویا: تبدیل یک معمای سخت به یک ضرب ساده!
عبارت گویا چیست؟ از کسر عددی تا کسر جبری
یک کسر ساده مانند $\frac{2}{3}$ را در نظر بگیرید. به جای عدد 2 یا 3 اگر یک عبارت جبری مثل $x+1$ یا $y^2-4$ قرار دهیم، به آن یک عبارت گویا میگوییم. پس در واقع، عبارت گویا یک کسر است که صورت و مخرج آن میتواند شامل اعداد، متغیرها (مثل x و y) و عملهای جمع، تفریق، ضرب یا توان باشد. شرط مهم: مخرج نباید صفر شود (چرا؟ چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است!).
یعنی کسر دوم ($\frac{C}{D}$) معکوس میشود ($\frac{D}{C}$) و سپس دو کسر در هم ضرب میشوند.
چهار گام طلایی برای تقسیم عبارتهای گویا
برای تقسیم هر عبارت گویایی، این چهار مرحله را دنبال کنید:
| مرحله | کاری که باید انجام دهیم | مثال ساده |
|---|---|---|
| 1 | علامت تقسیم (÷) را به ضرب (×) تبدیل کن. | $\frac{x}{2} \div \frac{3}{y} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} \times \frac{3}{y}$؟ نه! هنوز نه! |
| 2 | عبارت بعد از علامت تقسیم را معکوس کن (صورت و مخرجش را جابجا کن). این مهمترین مرحله است! | $\frac{x}{2} \times \frac{\boxed{y}}{\boxed{3}}$ |
| 3 | حالا دو کسر را در هم ضرب کن: صورت × صورت و مخرج × مخرج. | $\frac{x \times y}{2 \times 3} = \frac{xy}{6}$ |
| 4 | اگر ممکن باشد، عبارت نهایی را سادهسازی کن (عوامل مشترک را حذف کن). | در این مثال، $\frac{xy}{6}$ دیگر سادهتر نمیشود. |
یک مثال کامل از دنیای شیرینیپزی!
فرض کنید یک دستور پخت کیک، نیاز به $\frac{2}{3}$ فنجان شکر برای هر بسته آرد دارد. ما فقط $x$ فنجان شکر داریم. هر بسته آرد $250$ گرم است. میخواهیم بدانیم این مقدار شکر، برای چند گرم آرد کافی است؟
نسبت شکر به آرد بر اساس بسته: $\frac{\frac{2}{3} \text{ فنجان شکر}}{1 \text{ بسته آرد}}$ اما ما میخواهیم نسبت به گرم باشد. میدانیم $1$ بسته = $250$ گرم. پس داریم:
این یعنی: مقدار شکر ما تقسیم بر (نسبت شکر به آرد). محاسبه را گام به گام انجام میدهیم:
1. مینویسیم: $\frac{x}{1} \div \frac{\frac{2}{3}}{250}$
2. تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و کسر دوم را معکوس میکنیم: $\frac{x}{1} \times \frac{250}{\frac{2}{3}}$
3. تقسیم بر $\frac{2}{3}$ معادل ضرب در معکوس آن یعنی $\frac{3}{2}$ است. پس داریم: $\frac{x}{1} \times 250 \times \frac{3}{2}$
4. سادهسازی و ضرب: $x \times \frac{750}{2} = 375x$
پاسخ نهایی: $375x$ گرم آرد. یعنی اگر مثلاً $x=2$ فنجان شکر داشته باشیم، برای $375 \times 2 = 750$ گرم آرد کافی است. دیدید که چطور یک مسئلهی پیچیده با استفاده از تقسیم عبارتهای گویا و تبدیل آن به ضرب حل شد؟
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- معکوس کردن اشتباه: فقط کسری که بلافاصله بعد از علامت تقسیم است باید معکوس شود. برخی هر دو کسر را معکوس میکنند!
- فراموشی سادهسازی قبل از ضرب: بعد از تبدیل تقسیم به ضرب، باید ببینیم آیا قبل از ضرب کردن صورت و مخرجها، عبارتی در صورت یک کسر و مخرج کسر دیگر قابل سادهشدن هست یا خیر. این کار محاسبات را بسیار آسانتر میکند.
- تقسیم عبارتهای گویا هیچ تفاوتی با تقسیم کسرهای عددی ندارد: «کسر دوم را معکوس کن و ضرب کن».
- همیشه مراقب باشید که فقط کسری که بلافاصله بعد از علامت تقسیم قرار دارد معکوس شود.
- پس از تبدیل به ضرب، فرصت سادهسازی عوامل مشترک بین صورت و مخرج را از دست ندهید.
- این روش قدرتمند، حل مسائل پیچیدهتر جبری و کاربردی در زندگی (مانند محاسبه نسبتها در آشپزی، ساختوساز یا ترکیب مواد) را برای شما ممکن میسازد.
پاورقی
1عبارت گویا (Rational Expression): به کسری گفته میشود که صورت و مخرج آن هر دو چندجملهای باشند و مقدار مخرج نباید صفر شود.
2ضرب در معکوس (Multiply by the Reciprocal): روش اصلی برای انجام عمل تقسیم روی کسرها. معکوس یک کسر با جابجایی صورت و مخرج به دست میآید.
3ضرب متقابل (Cross Multiplication): این اصطلاح معمولاً برای حل معادلاتی به شکل $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ استفاده میشود که منجر به $A \times D = B \times C$ میگردد. در تقسیم، اصل کار شبیه این است، اما دقیقاً همان عمل ضرب در معکوس است.
