عبارتهای گویا: کسری که صورت و مخرج آن چندجملهای است
عبارت گویا چیست؟ از اعداد تا عبارتها
همه ما با کسرهای ساده مانند $\frac{3}{4}$ یا $\frac{x}{2}$ آشنا هستیم. اما اگر به جای اعداد ساده در صورت یا مخرج کسر، یک عبارت جبری داشته باشیم چه؟ به این حالت عبارت گویا میگوییم. به زبان ریاضی:
مثال ساده: فرض کنید میخواهید میانگین سرعت یک دوچرخهسوار را در یک مسیر محاسبه کنید. اگر مسافت طی شده را با $x^2 + 5x$ متر و زمان را با $x$ ثانیه نشان دهیم، میانگین سرعت برابر است با: $\frac{x^2 + 5x}{x}$ متر بر ثانیه. این یک عبارت گویا است.
انواع عبارتهای گویا و سادهسازی آنها
عبارتهای گویا بسته به نوع چندجملهای صورت و مخرج، میتوانند انواع مختلفی داشته باشند. سادهسازی این عبارتها، درست مثل ساده کردن کسرهای عددی است.
| نوع عبارت گویا | مثال | سادهسازی شده (در صورت امکان) |
|---|---|---|
| مخرج عددی | $\frac{3x+6}{3}$ | $x+2$ |
| صورت و مخرج تکجملهای | $\frac{6a^2b}{2ab}$ | $3a$ |
| دارای عامل مشترک | $\frac{x^2-9}{x-3}$ | ابتدا فاکتورگیری: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ سپس: $x+3$ |
| فاقد عامل مشترک | $\frac{x+1}{y-2}$ | قابل سادهسازی بیشتر نیست. |
گامهای طلایی برای سادهسازی عبارت گویا:
1. فاکتورگیری: صورت و مخرج را تا حد امکان به عوامل کوچکتر تجزیه کنید.
2. یافتن عامل مشترک: عوامل یکسان در صورت و مخرج را پیدا کنید.
3. حذف عامل مشترک: عوامل یکسان را (با شرط اینکه مخالف صفر باشند) حذف کنید.
4. نوشتن نتیجه نهایی: عبارت سادهشده را بنویسید.
محدودیت مهم: دامنه تعریف عبارت گویا
بزرگترین تفاوت یک کسر عددی با یک عبارت گویا، وجود یک محدودیت اساسی است: مخرج کسر هیچوقت نمیتواند برابر صفر باشد. زیرا تقسیم بر صفر در ریاضیات تعریف نشده است. بنابراین، برای هر عبارت گویا باید ابتدا مقادیری از متغیر که مخرج را صفر میکنند، پیدا کرده و از دامنه حذف کنیم.
1. مخرج عبارت گویا را مساوی صفر قرار میدهیم: $Q(x) = 0$.
2. معادله به دست آمده را حل میکنیم.
3. ریشههای به دست آمده، مقادیری هستند که عبارت گویا در آنها تعریف نشده است. همهی اعداد دیگر دامنه تعریف هستند.
مثال کاربردی: در یک کارگاه ساخت شیشه، هزینه ساخت هر شیشه با تابع $C(x)=\frac{500}{x-10}$ تومان مدلسازی میشود که $x$ تعداد شیشههای تولیدی است. این یک عبارت گویا است. مخرج آن $x-10$ است. اگر $x-10=0$، آنگاه $x=10$. این یعنی اگر تنها 10 شیشه تولید کنیم، مخرج صفر شده و هزینه بینهایت میشود! پس دامنه تعریف این تابع هزینه، همهی اعداد به جز 10 است. در دنیای واقعی، این میتواند نشاندهندهی یک نقطهی بحرانی در تولید باشد.
محاسبه مقدار یک عبارت گویا
پس از اطمینان از اینکه مقدار داده شده برای متغیر، مخرج را صفر نمیکند، میتوانیم مقدار عبارت را محاسبه کنیم. فقط کافی است مقدار متغیر را در صورت و مخرج جایگزین کرده و حاصل کسر را به دست آوریم.
مثال: مقدار عبارت $\frac{a^2 - 4}{a + 1}$ را به ازای $a = 2$ بیابید.
ابتدا بررسی میکنیم: اگر $a=2$، مخرج برابر $2+1=3$ میشود که صفر نیست. پس عبارت تعریف شده است.
حالا جایگذاری میکنیم: $\frac{(2)^2 - 4}{2 + 1} = \frac{4 - 4}{3} = \frac{0}{3} = 0$.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، اما با یک شرط بسیار مهم! ما تنها در صورتی میتوانیم $x+5$ را حذف کنیم که بدانیم مخالف صفر است. یعنی باید $x \neq -5$ باشد. در غیر این صورت، عبارت اصلی تعریف نشده است. پس مینویسیم: $\frac{x+5}{x+5} = 1$ به شرطی که $x \neq -5$.
پاسخ: اولی پس از سادهسازی (با شرط $x \neq 0$) به عدد ثابت $2$ تبدیل میشود. اما دومی قابل سادهسازی به یک عدد ثابت نیست و به صورت $\frac{2}{x} + 1$ باقی میماند. این نشان میدهد که فقط عوامل مشترک ضربی قابل حذف هستند، نه جملههای مشترک جمعی.
پاسخ: خیر! محدودیتهای مربوط به عبارت گویا اولیه را باید همیشه در نظر بگیریم. حتی اگر پس از سادهسازی مخرجی وجود نداشته باشد، مقادیری از متغیر که در عبارت اولیه مخرج را صفر میکردند، همچنان مجاز نیستند و باید از دامنه حذف شوند.
عبارتهای گویا، ابزاری قدرتمند برای مدلسازی نسبتها و رابطههای پیچیده در ریاضیات و زندگی هستند. یادگیری سه مهارت شناسایی، سادهسازی (با فاکتورگیری و حذف عامل مشترک) و پیدا کردن دامنه تعریف (با جلوگیری از صفر شدن مخرج)، کلید موفقیت در کار با این عبارتها است. همیشه به یاد داشته باشید که قبل از هر کاری، بررسی کنید مخرج کسر به صفر تبدیل نمیشود.
پاورقی
1عبارت گویا (Rational Expression): به کسری گفته میشود که صورت و مخرج آن هر دو چندجملهای باشند.
2چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری است که از مجموع چند تکجملهای تشکیل شده است، مانند $3x^2 - 2x + 5$.
دامنه تعریف (Domain): به مجموعه همهی مقادیری از متغیر گفته میشود که یک عبارت ریاضی برای آنها تعریف شده و معنا دارد.
فاکتورگیری (Factoring): فرآیند تجزیه یک عبارت به حاصل ضرب عوامل سادهتر.
