روش جایگزینی: کلید حل معمای دو مجهولی
دستگاه معادلات چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
خیلی وقتها در زندگی با مسائلی روبرو میشویم که بیش از یک مجهول۲ دارند. برای مثال، فرض کنید میخواهید بدانید قیمت یک خودکار و یک دفتر چقدر است. میدانید مجموع قیمت 2 خودکار و 1 دفتر، 7000 تومان است. همچنین قیمت 1 خودکار و 2 دفتر، 8000 تومان است. این دو اطلاعات، دو معادله با دو مجهول (قیمت خودکار و قیمت دفتر) میسازند که به آنها یک دستگاه معادلات۳ میگوییم.
$ax + by = c$
$dx + ey = f$
که در آن $x$ و $y$ مجهولهای ما و $a, b, c, d, e, f$ اعدادی معلوم هستند.
چهار گام طلایی برای حل به روش جایگزینی
حل به روش جایگزینی مانند یک بازی پازل است. شما یک تکه از پازل (یک متغیر) را از جایی برمیدارید و در جای مناسب دیگر قرار میدهید. مراحل را با هم دنبال میکنیم:
| گام | اقدام | توضیح و مثال |
|---|---|---|
| ۱ | انتخاب معادله و متغیر | معادلهای را انتخاب کن که راحتتر بتوانی یکی از متغیرها را برحسب دیگری بیان کنی. معمولاً معادلهای که ضریب متغیر $1$ یا $-1$ دارد، گزینه خوبی است. مثال: در معادله $x + 2y = 8$، متغیر $x$ به راحتی قابل نوشتن است. |
| ۲ | حل برای یک متغیر | متغیر انتخاب شده را برحسب متغیر دیگر بنویس. از مثال قبل: $x = 8 - 2y$. این رابطهٔ جایگزینی ما است. |
| ۳ | جایگزینی در معادله دیگر | عبارتی که به دست آوردی ($x = 8 - 2y$) را به جای همان متغیر در معادلهٔ دوم قرار بده. حالا این معادله فقط یک مجهول ($y$) دارد. |
| ۴ | حل و پیدا کردن جواب نهایی | معادله تکمجهولی جدید را حل کن تا مقدار یکی از متغیرها به دست آید. سپس این مقدار را در رابطهٔ جایگزینی مرحله ۲ قرار بده تا مقدار متغیر دوم نیز مشخص شود. |
یک مثال کامل از خرید بستنی و شکلات
حسن 2 بستنی و 1 شکلات میخرد و 18000 تومان پرداخت میکند. علی 1 بستنی و 3 شکلات میخرد و 19000 تومان پرداخت میکند. قیمت هر بستنی ($b$) و هر شکلات ($sh$) چقدر است؟
گام اول (نوشتن دستگاه):
معادله حسن: $2b + 1sh = 18000$
معادله علی: $1b + 3sh = 19000$
برای سادگی، معادله علی را انتخاب میکنیم تا $b$ را برحسب $sh$ بنویسیم.
گام دوم (حل برای یک متغیر):
از معادله علی: $b = 19000 - 3sh$
گام سوم (جایگزینی):
این مقدار $b$ را در معادله حسن جایگزین میکنیم:
$2(19000 - 3sh) + sh = 18000$
گام چهارم (حل معادله جدید):
$38000 - 6sh + sh = 18000$
$38000 - 5sh = 18000$
$-5sh = 18000 - 38000$
$-5sh = -20000$
$sh = 4000$
پس قیمت هر شکلات 4000 تومان است.
پیدا کردن متغیر دوم:
مقدار $sh=4000$ را در رابطه $b = 19000 - 3sh$ قرار میدهیم:
$b = 19000 - 3(4000) = 19000 - 12000 = 7000$
پس قیمت هر بستنی 7000 تومان است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: اصلاً مشکلی نیست! کافی است همان عبارت کسری را دقیقاً در معادله دوم جایگزین کنی. محاسبات را با دقت ادامه بده. میتوانی در انتها از مخرج مشترک گرفتن استفاده کنی تا معادله سادهتر شود.
پاسخ: بله، از نظر ریاضی ممکن است. اما هدف این است که محاسبات سادهتر شود. پس همیشه به دنبال معادلهای باش که متغیر در آن ضریب ۱ داشته باشد یا به راحتی بتوان آن را جداسازی کرد. این یک راهکار هوشمندانه است.
پاسخ: رایجترین اشتباه، توزیع نادرست ضریب هنگام جایگزینی است. مثلاً اگر $x = 5 - 2y$ باشد و بخواهیم $3x$ را محاسبه کنیم، باید بنویسیم $3(5 - 2y) = 15 - 6y$. بسیاری $3$ را فقط در $5$ ضرب میکنند و $2y$ را فراموش میکنند.
پاورقی
۱ روش جایگزینی (Substitution Method)
۲ مجهول (Unknown): مقداری که در مسئله نمیدانیم و باید آن را پیدا کنیم. معمولاً با حروفی مانند $x$ و $y$ نشان داده میشود.
۳ دستگاه معادلات (System of Equations): مجموعهای از دو یا چند معادله که باید به طور همزمان برای متغیرهای مشترکشان برقرار باشند.
