روش حذفی: کلید حل معمای دو مجهول
دستگاه معادلات خطی چیست؟
تصور کنید به میوهفروشی رفتهاید. روی تابلو نوشته: "هر کیلو سیب و هر کیلو پرتقال روی هم 20000 تومان است." این جمله یک معادله است: $ س + پ = 20000 $ (که در آن «س» قیمت هر کیلو سیب و «پ» قیمت هر کیلو پرتقال است). اما با این یک معادله نمیتوان قیمت دقیق هر میوه را فهمید. حالا اگر فروشنده بگوید: "دو کیلو سیب و یک کیلو پرتقال 35000 تومان میشود." معادله دوم ما میشود: $ 2س + پ = 35000 $. این دو معادله که هر دو باید با هم برقرار باشند، یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی میسازند. هدف ما پیدا کردن یک جفت عدد برای «س» و «پ» است که در هر دو معادله صدق کند.
قلب تپندهٔ روش حذفی: برابر کردن ضرایب
ایده اصلی روش حذفی ساده است: ما میخواهیم یکی از مجهولها (مثلاً «پ» یا «س») را طوری از بین ببریم که فقط یک معادله با یک مجهول باقی بماند. چگونه؟ با جمع یا تفریق دو معادله. اما یک شرط مهم: برای اینکه حذف اتفاق بیفتد، ضرایب یکی از متغیرها در دو معادله باید مطلقاً مساوی یا مقرونبهصفر3 باشند.
| شرایط ضرایب | عملیات پیشنهادی | نتیجه | مثال (معادلات سادهشده) |
|---|---|---|---|
| ضرایب یک متغیر دقیقاً برابر هستند. مثال: ضریب پ در هر دو معادله 1 است. |
تفریق دو معادله از هم | آن متغیر کاملاً حذف میشود. | $ 3س + پ = 11000 $ $ س + پ = 5000 $ |
| ضرایب یک متغیر قرینهی هم هستند. مثال: ضریب س در یکی 2 و در دیگری -2 است. |
جمع دو معادله با هم | آن متغیر کاملاً حذف میشود. | $ 2س + 3پ = 16000 $ $ -2س + 5پ = 8000 $ |
| ضرایب هیچ متغیری برابر یا قرینه نیستند. | ضرب یک یا هر دو معادله در عدد مناسب | ضرایب یک متغیر برابر یا قرینه میشوند. | $ 2س + 3پ = 19000 $ $ 3س + 2پ = 21000 $ |
حل گامبهگام یک مسئله از دنیای واقعی
سناریو: علی برای خرید دفتر و مداد به فروشگاه رفت. او 3 دفتر و 2 مداد خرید و 12000 تومان پرداخت. دوستش رضا در همان فروشگاه 2 دفتر و 4 مداد خرید و 14000 تومان پرداخت. قیمت یک دفتر و یک مداد چقدر است؟
گام ۱: نوشتن معادلات. فرض کنید قیمت هر دفتر = $ د $ تومان و قیمت هر مداد = $ م $ تومان.
خرید علی: $ 3د + 2م = 12000 $ (معادله اول)
خرید رضا: $ 2د + 4م = 14000 $ (معادله دوم)
گام ۲: تصمیمگیری برای حذف کدام متغیر. میخواهیم «م» را حذف کنیم. در معادله اول ضریب «م» عدد 2 و در معادله دوم 4 است. اگر معادله اول را در 2 ضرب کنیم، ضریب «م» در آن هم میشود 4. پس ضرایب برابر میشوند.
گام ۳: ضرب برای برابر کردن ضرایب. معادله اول را در 2 ضرب میکنیم (یعنی هر جمله را در 2):
$ 2 \times (3د + 2م) = 2 \times 12000 $
$ \rightarrow 6د + 4م = 24000 $ (معادله سوم، حاصل ضرب معادله اول در ۲)
گام ۴: حذف متغیر با تفریق. حالا معادله سوم و معادله دوم را داریم که هر دو ضریب «م» برابر 4 دارند. آنها را از هم تفریق میکنیم تا «م» حذف شود:
$ (6د + 4م) - (2د + 4م) = 24000 - 14000 $
$ \rightarrow 6د - 2د + 4م - 4م = 10000 $
$ \rightarrow 4د = 10000 $
گام ۵: حل معادله ساده. حالا یک معادله با یک مجهول داریم:
$ د = \frac{10000}{4} = 2500 $
پس قیمت هر دفتر 2500 تومان است.
گام ۶: جایگذاری و پیدا کردن مجهول دوم. مقدار \( د = 2500 \) را در یکی از معادلات اصلی (مثلاً معادله اول) جایگذاری میکنیم:
$ 3 \times 2500 + 2م = 12000 $
$ 7500 + 2م = 12000 $
$ 2م = 12000 - 7500 = 4500 $
$ م = \frac{4500}{2} = 2250 $
پس قیمت هر مداد 2250 تومان است.
گام ۷: بررسی پاسخ. اعداد به دست آمده را در معادله دوم تست میکنیم: $ 2 \times 2500 + 4 \times 2250 = 5000 + 9000 = 14000 $. با شرط مسئله برابر است. پس پاسخ درست است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1روش حذفی (Elimination Method): روشی جبری برای حل دستگاه معادلات که در آن با ترکیب خطی معادلات (جمع یا تفریق) یکی از متغیرها حذف میشود.
2ضریب (Coefficient): عددی که در کنار یک متغیر (مثلاً در عبارت \(3س\)، عدد \(3\) ضریب \(س\) است) نوشته میشود و مقدار آن متغیر را چند برابر میکند.
3مقرونبهصفر (Opposite): به دو عدد گفته میشود که جمع آنها صفر شود، مانند \(5\) و \(-5\). در این متن منظور اعدادی است که علامت مخالف اما قدر مطلق برابر دارند.
