دستگاه سازگار: دو خط تقاطع دارند.

بروزرسانی شده در: 11:49 1404/09/13 مشاهده: 4 دسته بندی: کپسول آموزشی

دستگاه سازگار: یک جواب، نقطهٔ تقاطع

وقتی دو خط در یک دستگاه معادلات، همدیگر را درست در یک نقطه قطع می‌کنند، سرنوشت معادله چه می‌شود؟

خلاصه: در دنیای ریاضی، یک «دستگاه معادلات خطی¹» مانند یک نقشه‌ی جست‌وجو عمل می‌کند. وقتی دو خط در این نقشه با هم «تقاطع»² داشته باشند، به این معنی است که یک «جواب مشترک»³ و یگانه برای هر دو معادله وجود دارد که همان مختصات نقطهٔ برخورد است. این مقاله به زبانی ساده و با مثال‌هایی از زندگی روزمره، توضیح می‌دهد که چرا و چگونه این اتفاق می‌افتد. مفاهیم اصلی مانند «خط»، «شیب»⁴، «عرض از مبدأ»⁵ و «دستگاه سازگار»⁶ بررسی می‌شوند.

اجزای اصلی یک دستگاه معادلات خطی

برای درک موضوع، اول باید ببینیم یک دستگاه معادلات خطی از چه چیزهایی ساخته شده است. هر معادله‌ی خطی را می‌توان به شکل $y = mx + b$ نوشت. در این فرمول:

m (شیب): نشان‌دهنده‌ی میزان شیب یا تندی خط است. مثلاً در جاده، شیب 0.1 یعنی به ازای هر 100 متر حرکت افقی، ارتفاع 10 متر تغییر می‌کند.
b (عرض از مبدأ): نقطه‌ای است که خط، محور عرض‌ها (y) را قطع می‌کند. مثل نقطه شروع یک مسابقه دو.
متغیرها (x و y): مقادیر ناشناخته‌ای هستند که می‌خواهیم پیدا کنیم، مانند طول و عرض یک مکان روی نقشه.

یک «دستگاه» زمانی شکل می‌گیرد که دو معادله از این نوع را با هم در نظر بگیریم و به دنبال مقادیر x و y باشیم که در هر دو معادله صدق کنند.

فرمول کلیدی: شکل استاندارد معادله خط: $y = mx + b$. در یک دستگاه دو معادله‌ای، ما دو معادله داریم: $y = m_1 x + b_1$ و $y = m_2 x + b_2$.

سه حالت ممکن برای سرنوشت دو خط

دو خط در یک صفحه می‌توانند فقط یکی از سه رابطه زیر را با هم داشته باشند. این روابط سرنوشت جواب دستگاه را مشخص می‌کنند:

حالت	شرایط شیب (m) و عرض از مبدأ (b)	تعداد نقاط مشترک	نوع دستگاه و تعداد جواب
تقاطع	m₁ ≠ m₂ (شیب‌ها متفاوتند)	1 نقطه	سازگار – یک جواب
موازی	m₁ = m₂ و b₁ ≠ b₂	0 نقطه	ناسازگار – جواب ندارد
برهم‌افتادگی (یک خط)	m₁ = m₂ و b₁ = b₂	بی‌نهایت نقطه	سازگار – بی‌نهایت جواب

همان‌طور که در جدول می‌بینید، حالت مورد بحث ما، حالت اول (تقاطع) است. در این حالت، چون شیب خطوط متفاوت است، آن‌ها حتماً یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند. این نقطه، همان جواب یگانه دستگاه است.

یافتن نقطهٔ طلایی تقاطع در عمل

بیایید با یک مثال ملموس جلو برویم. فرض کنید شما و دوستتان قرار است در یک کتابخانه همدیگر را ملاقات کنید. شما از خانه با دوچرخه و دوستتان از مدرسه با اتوبوس حرکت می‌کنید. معادله مسیر شما (بر حسب زمان و فاصله از کتابخانه) با دوستتان فرق دارد، اما هر دو به یک مقصد می‌رسید.

مثال عددی: دستگاه معادلات زیر را در نظر بگیرید:
معادله خط اول (مسیر شما): $y = 2x + 1$
معادله خط دوم (مسیر دوستتان): $y = -x + 4$

برای یافتن نقطه تقاطع (جایی که هم‌زمان به آن می‌رسید)، باید مقدار x و y را پیدا کنیم که در هر دو معادله صدق کند. ساده‌ترین راه این است که دو معادله را با هم مساوی بگذاریم، زیرا در نقطه تقاطع، مقدار y هر دو یکسان است:

گام‌به‌گام حل:
۱) مساوی گذاشتن معادلات: $2x + 1 = -x + 4$
۲) جمع x به دو طرف: $2x + x + 1 = 4$ → $3x + 1 = 4$
۳) کم کردن عدد 1: $3x = 3$
۴) تقسیم بر 3: $x = 1$
۵) جایگذاری x=1 در یکی از معادلات (مثلاً اولی): $y = 2(1) + 1 = 3$
→ جواب: (1 , 3) این مختصات نقطه تقاطع است.

این یعنی در زمان x=1 (مثلاً ساعت ۱ بعدازظهر) و در مکان y=3 (کیلومتر سوم جاده)، شما و دوستتان همدیگر را ملاقات می‌کنید. این دستگاه، یک دستگاه سازگار با یک جواب است.

کاربرد تقاطع خطوط در زندگی و اطراف ما

شاید فکر کنید این موضوع فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارد، اما اشتباه می‌کنید! نقطه تقاطع دو خط، پاسخ بسیاری از سؤال‌های روزمره است:

تعیین قیمت تعادل در بازار: خط عرضه (چه کالایی موجود است) و خط تقاضا (مردم چقدر می‌خواهند بخرند) با هم رسم می‌شوند. نقطه تقاطع این دو خط، قیمت و مقدار تعادلی کالا را نشان می‌دهد؛ قیمتی که نه کالا اضافه می‌ماند و نه خریدار ناراضی است.
پیدا کردن محل ملاقات: همان‌طور که در مثال کتابخانه دیدیم.
برنامه‌ریزی مالی ساده: فرض کنید هزینه ثابت یک کارگاه 100 هزار تومان و هزینه ساخت هر وسیله 5 هزار تومان است (خط هزینه). اگر هر وسیله را 15 هزار تومان بفروشید (خط درآمد). نقطه تقاطع این دو خط، تعداد وسایلی را نشان می‌دهد که سود و هزینه مساوی می‌شوند (نقطه سربه‌سر).

در همه این موارد، ما دو شرط یا دو رابطه داریم که باید هم‌زمان برقرار باشند. دستگاه معادلات، ابزار ریاضی برای یافتن آن شرایط مشترک است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سؤال ۱: آیا دو خط با شیب متفاوت حتماً همدیگر را قطع می‌کنند؟
پاسخ: بله، این یک قانون هندسی است. دو خط غیرموازی در یک صفحه، حتماً در یک نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند. پس اگر شیب دو معادله خطی متفاوت باشد، دستگاه حتماً یک جواب دارد.

سؤال ۲: اگر بعد از حل دستگاه به جوابی مانند (2,5) رسیدیم، چگونه مطمئن شویم که این همان نقطه تقاطع است؟
پاسخ: کافی است این اعداد را در هر دو معادله اصلی جایگذاری (تست) کنید. اگر در هر دو معادله به یک تساوی عددی درست رسیدید (مثلاً 5=5)، آنگاه این نقطه، جواب درست است. این کار، راه مطمئنی برای بررسی حل مسئله است.

سؤال ۳: تفاوت اصلی دستگاه «سازگار» با «ناسازگار» چیست؟
پاسخ: دستگاه سازگار حداقل یک جواب دارد (یا یک جواب یا بی‌نهایت جواب). دستگاه ناسازگار اصلاً جوابی ندارد، مانند دو خط موازی که هیچ‌گاه به هم نمی‌رسند. حالت تقاطع، یک نوع خاص و متداول از دستگاه سازگار است که دقیقاً یک جواب دارد.

جمع‌بندی:

یک دستگاه معادلات خطی، مجموعه‌ای از دو یا چند معادله است که با هم بررسی می‌شوند.
اگر نمودار این معادلات به صورت دو خط با شیب‌های متفاوت باشد، این خطوط در یک نقطه واحد یکدیگر را قطع می‌کنند.
مختصات این نقطه تقاطع، همان جواب یگانه و مشترک برای هر دو معادله است.
به چنین دستگاهی که جواب دارد، دستگاه سازگار می‌گوییم.
یافتن این جواب، مانند پیدا کردن زمان و مکان ملاقات دو دوست یا قیمت تعادلی یک کالا در بازار است.

پس به خاطر بسپارید: تقاطع = یک جواب = دستگاه سازگار.

پاورقی

¹ دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations): مجموعه‌ای از معادلات جبری که هر کدام درجه یک دارند و متغیرهای مشترک بین آن‌ها را باید پیدا کرد.
² تقاطع (Intersection): نقطه‌ای که دو خط یا منحنی در آن یکدیگر را قطع می‌کنند.
³ جواب مشترک (Common Solution): مجموعه مقادیری برای متغیرها که در همه معادلات دستگاه صدق می‌کند.
⁴ شیب (Slope): عددی که نشان‌دهنده‌ی میزان انحراف یا تندی یک خط است. به ازای افزایش یک واحد در x، چند واحد در y تغییر می‌کند.
⁵ عرض از مبدأ (y-intercept): مقداری از y که وقتی x صفر باشد، به دست می‌آید. نقطه برخورد خط با محور yها.
⁶ دستگاه سازگار (Consistent System): دستگاهی از معادلات که حداقل یک جواب دارد.

دستگاه معادلات خطی تقاطع خطوط جواب یکتا دستگاه سازگار نقطه برخورد

پایهٔ نهم ریاضی نهم دستگاه سازگار

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!