طول از مبدأ: کشف نقطه صفر نمودارها
طول از مبدأ چیست و چطور آن را پیدا کنیم؟
در صفحهی مختصات، هر نقطه با دو عدد مشخص میشود: مختص x (طول) و مختص y (عرض). طول از مبدأ به نقطه یا نقاطی اشاره دارد که نمودار یک معادله، محور xها را قطع میکند. در این نقاط همیشه مقدار y برابر صفر است. پس برای یافتن آن کافی است در معادلهی خود، y = 0 قرار دهیم و معادله را برای x حل کنیم.
۱. در معادله، به جای y، عدد 0 را قرار بده.
۲. معادلهی جدید که فقط متغیر x دارد را حل کن.
۳. مقدار (یا مقادیر) به دست آمده برای x، همان طول از مبدأ است.
به عنوان مثال، معادلهی خط $ y = 2x - 6 $ را در نظر بگیرید. برای یافتن طول از مبدأ:
مرحله اول: $ 0 = 2x - 6 $
مرحله دوم: $ 2x = 6 $ و در نتیجه $ x = 3 $.
پس طول از مبدأ این خط برابر با 3 است. یعنی این خط، محور xها را در نقطهی $ (3, 0) $ قطع میکند.
تفاوت طول از مبدأ و عرض از مبدأ در یک نگاه
این دو مفهوم مکمل یکدیگرند اما کاملاً متفاوت هستند. درک تفاوت آنها از اشتباهات رایج جلوگیری میکند.
| ویژگی | طول از مبدأ (x-intercept) | عرض از مبدأ (y-intercept) |
|---|---|---|
| تعریف | مقدار x وقتی y=0 است. | مقدار y وقتی x=0 است. |
| محل قرارگیری | روی محور افقی (محور xها) | روی محور عمودی (محور yها) |
| نقطه بر روی نمودار | به شکل $ (x, 0) $ | به شکل $ (0, y) $ |
| روش محاسبه | در معادله، y=0 قرار میدهیم. | در معادله، x=0 قرار میدهیم. |
| مثال (برای خط y=2x-6) | حل $ 0=2x-6 $ → x=3 | حل $ y=2(0)-6 $ → y=-6 |
طول از مبدأ در معادلات درجه دوم (سهمی)
نمودار معادلات درجه دوم۳ (مانند $ y = ax^2 + bx + c $) به شکل یک سهمی است. یک سهمی میتواند محور xها را در دو نقطه، یک نقطه (نقطه مماس) یا هیچ نقطهای قطع نکند. بنابراین، ممکن است دو طول از مبدأ، یک طول از مبدأ یا اصلاً طول از مبدأیی (حقیقی) نداشته باشیم. روش کار همان است: قرار دادن y=0 و حل معادلهی درجه دوم.
مثال: معادلهی $ y = x^2 - 5x + 6 $.
با قرار دادن $ 0 = x^2 - 5x + 6 $، آن را به شکل $ (x-2)(x-3)=0 $ تجزیه میکنیم. پس دو جواب داریم: x=2 و x=3. این سهمی در دو نقطه $ (2,0) $ و $ (3,0) $ محور xها را قطع میکند.
کاربرد طول از مبدأ در مسائل واقعی زندگی
شاید فکر کنید این مفهوم فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارد، اما درک آن به حل مسائل روزمره کمک بزرگی میکند.
مثال اول: مدیریت پسانداز. فرض کنید شما هر ماه 200,000 تومان از پول توجیبی خود را پسانداز میکنید. حالا میخواهید یک دوچرخه به قیمت 2,000,000 تومان بخرید. معادلهی موجودی شما میشود: $ y = 200000x - 2000000 $ که در آن x تعداد ماهها و y مقدار پول کمبود یا اضافه نسبت به قیمت دوچرخه است. طول از مبدأ این خط، زمانی را نشان میدهد که موجودی شما صفر است (یعنی دقیقاً پول دوچرخه را جمع کردهاید). با حل $ 0 = 200000x - 2000000 $ به x=10 ماه میرسیم. پس بعد از ۱۰ ماه میتوانید دوچرخه را بخرید.
مثال دوم: نقطه سربهسر در فروش. یک دست فروش، هر دانه از یک کالا را 5,000 تومان میخرد و 8,000 تومان میفروشد. هزینهی ثابت او (مثل کرایهی جایگاه) برای یک روز 30,000 تومان است. سود او از رابطه $ y = 3000x - 30000 $ به دست میآید (x تعداد کالای فروخته شده). طول از مبدأ ($ 0 = 3000x - 30000 $ → x=10) نشان میدهد که اگر ۱۰ کالا بفروشد، نه سود کرده و نه زیان. این «نقطه سربهسر» است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این بستگی به نوع نمودار دارد. یک خط راست میتواند حداکثر یک طول از مبدأ داشته باشد (مگر اینکه دقیقاً روی محور xها منطبق شود). اما یک سهمی (معادله درجه دوم) میتواند صفر، یک یا دو طول از مبدأ داشته باشد. منحنیهای پیچیدهتر حتی ممکن است تعداد بیشتری داشته باشند.
پاسخ: این به این معناست که معادلهای که در ابتدا داشتید، هیچ نقطهای با مختص y=0 ندارد. به زبان ساده، نمودار آن معادله هرگز محور xها را قطع نمیکند. مثال ساده: خط $ y = 5 $، یک خط افقی است که از ارتفاع ۵ موازی با محور xها میگذرد و هیچ طول از مبدأیی ندارد.
پاسخ: قطعاً بله. مقدار x میتواند منفی، مثبت یا صفر باشد. برای مثال در خط $ y = x + 2 $، با قرار دادن y=0 به x = -2 میرسیم. پس طول از مبدأ -2 است و نمودار در نقطهی $ (-2, 0) $ محور xها را قطع میکند.
پاورقی
۱هندسه تحلیلی (Analytical Geometry): شاخهای از ریاضیات که در آن از جبر و حسابان برای مطالعه و تحلیل اشکال هندسی استفاده میشود. در این شاخه، هر شکل هندسی با یک معادله بیان میشود.
۲عرض از مبدأ (y-intercept): مقداری از y که وقتی x=0 باشد، از معادله به دست میآید. نقطهی برخورد نمودار با محور yها.
۳معادله درجه دوم (Quadratic Equation): معادلهای به شکل استاندارد $ ax^2 + bx + c = 0 $ که در آن a، b و c اعداد ثابت هستند و a \neq 0.
