مقدار تقریبی: عدد نزدیک به مقدار واقعی
تقریب چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
در دنیای واقعی، ما همیشه نمیتوانیم یا لازم نیست مقدار دقیق یک چیز را بدانیم. گاهی اندازهگیری دقیق غیرممکن است (مثل تعداد دانههای شن در ساحل) و گاهی برای سرعت بخشیدن به محاسبات، به عددی سادهتر و نزدیک به جواب واقعی قانع میشویم. به این عدد، مقدار تقریبی میگوییم. برای مثال، وقتی میگوییم «جمعیت این شهر 500,000 نفر است»، به احتمال زیاد عدد دقیق 498,762 یا 501,120 نیست، اما عدد 500,000 یک $ \text{تقریب} $ خوب و قابل درک از اندازهٔ شهر ارائه میدهد.
روشهای رایج بهدست آوردن مقدار تقریبی
برای پیدا کردن یک تقریب خوب، روشهای استانداردی وجود دارد که بسته به نیاز و دقت مورد نظر انتخاب میشوند.
| نام روش | توضیح | مثال | سطح دقت |
|---|---|---|---|
| گرد کردن2 | سادهسازی یک عدد با حذف رقمهای انتهایی بر اساس قوانین مشخص. | 3.14159 به 3.14 (به دو رقم اعشار) | متوسط |
| تخمین4 ذهنی | حدس زدن یک مقدار بر اساس تجربه و شهود، بدون محاسبهٔ دقیق. | تخمین تعداد دانشآموزان مدرسه: حدود 400 نفر | پایین |
| برش5 | حذف سادهٔ رقمهای بعد از یک رقم مشخص، بدون توجه به گرد کردن. | 8.97 به 8.9 | متوسط |
| استفاده از اعداد معلوم | جایگزینی یک مقدار پیچیده با یک مقدار شناختهشدهٔ نزدیک به آن. | عدد $ \pi $ برابر است با حدود 3.14 یا $ \frac{22}{7} $ | بالا |
خطای تقریب: فاصله از واقعیت
هرگز تقریب با مقدار واقعی برابر نیست. تفاوت بین مقدار تقریبی و مقدار واقعی را خطای تقریب3 مینامند. اندازهگیری این خطا بسیار مهم است تا بدانیم تقریبی که استفاده میکنیم چقدر قابل اعتماد است.
$ \text{خطای مطلق} = | \text{مقدار واقعی} - \text{مقدار تقریبی} | $
مثال: اگر طول یک میز دقیقاً 120.5 سانتیمتر باشد و ما آن را 120 سانتیمتر گزارش کنیم، خطای مطلق برابر است با: $ |120.5 - 120| = 0.5 \ \text{cm} $.
تقریب در عمل: از خرید تا علم نجوم
خرید روزانه: وقتی برای خرید به سوپرمارکت میروید، قیمت کالاها را گرد میکنید تا سریعتر جمع کل را تخمین بزنید. اگر یک قلم کالا 4,750 تومان و دیگری 8,250 تومان باشد، شما بهراحتی آنها را 5,000 و 8,000 تومان در نظر میگیرید و جمع را حدود 13,000 تومان تخمین میزنید.
در علوم تجربی: در آزمایشگاه، اندازهگیریها همواره با خطا همراه است. وقتی دانشآموزی طول یک برگ را با خطکش اندازه میگیرد و عدد 7.3 سانتیمتر را میخواند، این یک مقدار تقریبی است زیرا دقت خطکش ممکن است فقط تا میلیمتر باشد.
در ریاضیات و هندسه: مقدار عدد $ \pi $ یک عدد اعشاری نامتناهی است. ما در محاسبات از تقریبهای آن مثل 3.14، $ \frac{22}{7} $ یا حتی 3.1416 استفاده میکنیم. مثلاً محیط دایرهای به شعاع 5 سانتیمتر را میتوان به دو صورت محاسبه کرد:
- محاسبهٔ دقیقتر: $ 2 \times \pi \times 5 \approx 2 \times 3.1416 \times 5 = 31.416 \ \text{cm} $
- محاسبهٔ سریع (تقریب زده): $ 2 \times 3.14 \times 5 = 31.4 \ \text{cm} $
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. مقدار تقریبی میتواند کوچکتر، بزرگتر یا حتی (به ندرت) برابر با مقدار واقعی باشد. در روش گرد کردن، بسته به رقم بعدی، عدد ممکن است به سمت بالا یا پایین گرد شود. مثلاً 2.7 به 3 (بزرگتر) و 2.3 به 2 (کوچکتر) گرد میشود.
پاسخ: لزوماً نه. انتخاب دقت مناسب به کاربرد بستگی دارد. برای ساخت یک ساعت مچی، دقت تا میلیمتر کافی است، اما برای ساخت تراشهٔ رایانهای، دقت در حد نانومتر (0.000001 میلیمتر) لازم است. استفاده از دقت بیشازحد نیاز، فقط محاسبات را پیچیده و وقتگیر میکند.
پاسخ:تقریب بر پایهٔ یک مقدار واقعی موجود یا یک مدل ریاضی/علمی است و هدف نزدیک شدن به آن مقدار است (مانند گرد کردن عدد پی). اما حدس یا پیشبینی بیشتر بر پایهٔ شهود یا اطلاعات ناقص است و لزوماً یک مقدار واقعی مشخص برای مقایسه در دسترس نیست (مانند پیشبینی نتیجهٔ یک مسابقه).
پاورقی
1 مقدار تقریبی (Approximate Value): مقداری که به مقدار دقیق و واقعی نزدیک باشد.
2 گرد کردن (Rounding): فرآیند سادهسازی یک عدد به نزدیکترین مقدار بر اساس رقم مشخصی.
3 خطای تقریب (Approximation Error): اختلاف بین مقدار تقریبی و مقدار واقعی.
4 تخمین (Estimation): فرآیند پیدا کردن یک تقریب از نتیجهای که از محاسبه یا اندازهگیری بهدست میآید.
5 برش (Truncation): حذف رقمهای بعد از یک رقم مشخص، بدون در نظر گرفتن قوانین گرد کردن.
