معادله پیوستگی: قانون حفاظت جرم در جریان سیال
ماهیت جرم و قانون پایستگی آن
در فیزیک، جرم6 مقدار ماده تشکیلدهنده یک جسم است. یکی از قوانین بنیادی جهان، قانون پایستگی جرم است. این قانون میگوید: جرم نه به وجود میآید و نه از بین میرود؛ فقط از شکلی به شکل دیگر تبدیل میشود. برای مثال، هنگامی که یخ ذوب میشود، جرم آب حاصل دقیقاً برابر جرم تکه یخ اولیه است. این قانون برای سیالات (مایعات و گازها) در حال جریان نیز به طور خاصی صدق میکند که به آن معادله پیوستگی میگوییم.
از ایده تا معادله: استخراج رابطه پیوستگی
برای درک این معادله، یک لوله با قطر متغیر را در نظر بگیرید که آب به طور پیوسته در آن جریان دارد. فرض کنید هیچ آبی از دیوارهها نشت نمیکند و در مخزن جمع نمیشود (جریان پایا).
- نرخ جریان جرمی7: مقدار جرمی از سیال که در واحد زمان از یک مقطع لوله عبور میکند. این مقدار به چگالی8 سیال (ρ)، سطح مقطع لوله (A) و سرعت سیال (v) بستگی دارد.
- رابطه اصلی: اگر در یک جریان پایا جرم اضافه یا کم نشود، نرخ جریان جرمی در هر نقطه از لوله باید یکسان باشد. یعنی:
$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$
این، شکل کلی معادله پیوستگی است. اندیسهای ۱ و ۲ به دو نقطه مختلف در طول مسیر جریان اشاره دارند. - حالت مایع تراکمناپذیر9: برای مایعاتی مانند آب، چگالی عملاً ثابت است (ρ1 = ρ2). بنابراین معادله سادهتر میشود:
معادله پیوستگی برای مایعات:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
یا به بیان دیگر: $Q = A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{ثابت}$
که در آن Qدبی حجمی10 است (حجم سیال عبوری در واحد زمان).
| مفهوم | نماد و واحد | توصیف | رابطه در معادله |
|---|---|---|---|
| سطح مقطع | A (m²) | مساحت داخلی لوله که سیال از آن عبور میکند. | اگر A کاهش یابد، v افزایش مییابد. |
| سرعت جریان | v (m/s) | سرعت متوسط سیال در یک مقطع خاص. | نسبت عکس با سطح مقطع دارد. |
| دبی حجمی | Q (m³/s) | مقدار حجم سیالی که در هر ثانیه عبور میکند. | $Q = A \times v$ و در طول لوله ثابت است. |
| چگالی | ρ (kg/m³) | جرم موجود در واحد حجم یک ماده. | برای گازها متغیر است، برای مایعات ثابت فرض میشود. |
شیر آب و شلنگ باغچه: یک آزمایش روزمره
هنگامی که سر یک شلنگ معمولی را با انگشت خود میگیرید، مساحت خروجی آب (A) کاهش مییابد. مطابق معادله پیوستگی ($A_1 v_1 = A_2 v_2$)، برای حفظ دبی حجمی ثابت، سرعت آب (v) باید افزایش یابد. به همین دلیل است که آب با فشار و سرعت بیشتری به دورتر پرتاب میشود. این یک نمایش ساده و عملی از اصل پیوستگی است.
حالا یک شیلنگ با قطر متغیر تصور کنید که قسمت وسط آن باریکتر شده است. آب در قسمت باریکتر سریعتر جریان دارد. این پدیده در بسیاری از وسایل مانند افشانهها (اسپریها) استفاده میشود. در افشانه، هوا از روی یک لوله باریک حاوی مایع عبور میکند و با افزایش سرعت، فشار کاهش یافته و مایع به سمت بالا مکش و به ذرات ریز تبدیل میشود.
راهحل: ابتدا سطح مقاطع را محاسبه میکنیم. سطح مقطع یک دایره است: $A = \pi r^2$.
بخش اول: r1 = 2 cm = 0.02 m → $A_1 = \pi (0.02)^2 = 0.0004\pi \, m^2$
بخش دوم: r2 = 1 cm = 0.01 m → $A_2 = \pi (0.01)^2 = 0.0001\pi \, m^2$
طبق معادله: $A_1 v_1 = A_2 v_2$
$(0.0004\pi) \times 0.5 = (0.0001\pi) \times v_2$
پس: $v_2 = \frac{0.0004\pi \times 0.5}{0.0001\pi} = 2 \, m/s$
میبینید که با نصف شدن شعاع، سرعت چهار برابر شده است (چون سطح مقطع به یکچهارم کاهش یافته است).
کاربردهای معادله پیوستگی در فناوری و طبیعت
این اصل تنها یک مفهوم نظری نیست، بلکه پایه طراحی بسیاری از سیستمهاست:
- سیستمهای گردش خون: رگهای خونی بدن ما شبکهای از لولهها با قطرهای مختلف هستند. مویرگها سطح مقطع بسیار بزرگی دارند، به همین دلیل سرعت جریان خون در آنها بسیار کم میشود تا زمان کافی برای تبادل مواد وجود داشته باشد.
- آئرودینامیک و طراحی هواپیما: هوا در اطراف بال هواپیما جریان دارد. شکل خاص بال باعث میشود هوا در سطح بالایی مسافت بیشتری را در زمان یکسان طی کند (یعنی سرعتش بیشتر شود). این افزایش سرعت (طبق معادله برنولی11) باعث ایجاد نیروی برآ و پرواز هواپیما میشود.
- سیستمهای لولهکشی و آبیاری: مهندسان برای اطمینان از رسیدن آب کافی به همه نقاط یک ساختمان یا مزرعه، قطر لولهها را بر اساس دبی حجمی مورد نیاز و سرعت مجاز جریان محاسبه میکنند.
- توربینهای آبی و بادی: برای تولید بیشترین انرژی، سیال (آب یا باد) را از مجراهایی میگذرانند که سطح مقطع آنها طراحی شده تا سرعت جریان در نقطه برخورد با پرههای توربین به حداکثر برسد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- معادله پیوستگی، شکل خاصی از قانون پایستگی جرم برای سیالات در حال حرکت است.
- این معادله بیان میکند که در یک جریان پایا، نرخ جریان جرمی در تمام مقاطع یک لوله ثابت است: $\rho A v = \text{ثابت}$.
- برای مایعات تراکمناپذیر مانند آب، به رابطه سادهتر و پرکاربرد $A v = \text{ثابت}$ یا $Q = \text{ثابت}$ میرسیم.
- نتیجه عملی: در یک لوله، جایی که سطح مقطع کمتر است، سرعت جریان بیشتر است و برعکس.
- این اصل درک بسیاری از پدیدههای روزمره و طراحی سیستمهای پیچیده مهندسی را ممکن میسازد.
پاورقی
1 معادله پیوستگی (Equation of Continuity)
2 پایستگی یا بقا (Conservation)
3 جریان پایا (Steady Flow): جریانی که ویژگیهایش (مانند سرعت و چگالی) در هر نقطه، با زمان تغییر نمیکند.
4 سطح مقطع (Cross-Sectional Area)
5 سرعت (Velocity)
6 جرم (Mass)
7 نرخ جریان جرمی (Mass Flow Rate)
8 چگالی (Density)
9 تراکمناپذیر (Incompressible)
10 دبی حجمی (Volumetric Flow Rate)
11 معادله برنولی (Bernoulli's Equation): رابطهای که بین سرعت، فشار و ارتفاع در یک جریان سیال برقرار است.
