تجزیه با اتحاد جمله مشترک: کلید باز کردن قفل عبارتهای جبری
اتحاد جمله مشترک چیست و چگونه عمل میکند؟
بیایید با یک مثال روزمره شروع کنیم. فرض کنید شما و دوستتان برای یک سفر مدرسهای، چند خوراکی خریدهاید. شما 3 بسته چیپس و 3 آبمیوه خریدهاید. دوستتان هم 2 بسته چیپس و 2 آبمیوه خریده است. اگر بخواهیم کل خرید را به صورت ریاضی بنویسیم: $3c + 3j + 2c + 2j$ که در آن $c$ قیمت چیپس و $j$ قیمت آبمیوه است. میتوانیم خریدها را دستهبندی کنیم: شما $3(c+j)$ و دوستتان $2(c+j)$ خریدهاند. اینجا $(c+j)$ همان جمله مشترک است.
در ریاضی، اتحاد جمله مشترک یا فاکتورگیری بر اساس عامل مشترک، روشی است که در آن یک عبارت چندجملهای را به صورت ضرب دو عامل سادهتر مینویسیم. این روش برای تجزیهی عبارتهایی از شکل $ab + ac$ یا $ax + bx + ay + by$ بسیار کاربردی است.
در اینجا $a$ عامل مشترک بین دو جمله است. ما آن را فاکتور میگیریم و بیرون پرانتز میگذاریم. بقیهٔ عبارتها داخل پرانتز جمع میشوند.
چگونه از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم؟ مراحل گامبهگام
برای تسلط بر این روش، مراحل زیر را دنبال کنید:
| مرحله | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| 1 | عامل مشترک تمام جملهها را پیدا کن |
$6x^2 + 9x$ عامل مشترک: $3x$ |
| 2 | عامل مشترک را بیرون پرانتز بنویس | $3x( \quad )$ |
| 3 | هر جمله را بر عامل مشترک تقسیم کن و نتیجه را داخل پرانتز بنویس |
$\frac{6x^2}{3x}=2x$ و $\frac{9x}{3x}=3$ بنابراین: $3x(2x + 3)$ |
| 4 | حاصل را بررسی کن (با ضرب کردن دوباره) | $3x \times (2x+3) = 6x^2 + 9x$ ✅ |
کاربرد اتحاد جمله مشترک در حل مسئله و دنیای واقعی
این روش فقط برای حل تمرینات کتاب نیست. فرض کنید میخواهید مساحت یک زمین مستطیلی را که به دو قسمت تقسیم شده محاسبه کنید. قسمت اول طول $x$ و عرض $5$ متر دارد. قسمت دوم طول $x$ و عرض $3$ متر دارد. مساحت کل برابر است با: $5x + 3x$. با فاکتورگیری عامل مشترک $x$، میشود $x(5+3) = 8x$. این سادهسازی محاسبه را بسیار راحتتر میکند.
در حل معادلات درجه اول نیز این روش به کار میآید. مثلاً برای حل معادله $2x^2 + 6x = 0$، ابتدا عامل مشترک $2x$ را فاکتور میگیریم: $2x(x+3)=0$. حالا میدانیم که اگر حاصل ضرب دو چیز صفر شود، حداقل یکی از آنها صفر است. پس $2x=0$ یا $x+3=0$. بنابراین جوابها $x=0$ و $x=-3$ هستند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، اما نه فاکتور حرفی. باید به دنبال عامل عددی مشترک بود. بزرگترین عددی که هم $4$ و هم $6$ بر آن بخشپذیرند، عدد $2$ است. پس میتوان نوشت: $4a + 6b = 2(2a + 3b)$.
پاسخ: فراموش کردن عدد $1$! مثلاً در تجزیهی $x^2 + x$، عامل مشترک $x$ است. باید نوشت $x(x + 1)$، نه $x(x + 0)$ یا $x(x)$. چون $\frac{x}{x}=1$ میشود.
پاسخ: بهتر است عامل مشترک منفی فاکتور گرفته شود تا داخل پرانتز سادهتر شود. مثلاً $-2x - 4y = -2(x + 2y)$. این کار از اشتباه در علامتها جلوگیری میکند.
پاورقی
۱ اتحاد جمله مشترک (Common Factor Factorization): روشی در جبر که در آن بزرگترین عامل مشترک تمام جملههای یک چندجملهای خارج میشود.
۲ فاکتورگیری (Factoring): به عمل شکستن یک عبارت ریاضی به ضرب عوامل سادهتر گفته میشود.
۳ چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری که از مجموع چند جمله (متشکل از ضرایب و متغیرها) تشکیل شده است.
