تجزیه با ب.م.م: قرار دادن عامل مشترک در یک پرانتز
بزرگترین مقسومعلیه مشترک چیست و چگونه پیدا میشود؟
پیش از هر چیز، باید با مفهوم ب.م.م1 آشنا شویم. بزرگترین مقسومعلیه مشترک چند عدد یا جمله جبری، بزرگترین عدد یا عبارتی است که همهی آنها بر آن بخشپذیر هستند. این مفهوم در تجزیه نقش کلیدی دارد.
برای یافتن ب.م.م دو یا چند جمله، دو مرحله را دنبال میکنیم:
| مرحله | توضیح | مثال عددی (اعداد 18 و 24) |
|---|---|---|
| 1 | مقسومعلیههای هر عدد را بنویسید. | مقسومعلیههای 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 مقسومعلیههای 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 |
| 2 | مقسومعلیههای مشترک را شناسایی و بزرگترین آن را انتخاب کنید. | مقسومعلیههای مشترک: 1, 2, 3, 6 بزرگترین آن: 6. پس ب.م.م (18, 24) = 6. |
برای جملات جبری، این کار را با ضرایب عددی و قسمت حروفی (متغیرها) جداگانه انجام میدهیم. ب.م.م قسمت حروفی، متغیری با کوچکترین توان است که در همه جملات حضور دارد.
در اینجا $ a $ همان عامل مشترک یا ب.م.م جملات $ ab $ و $ ac $ است.
چگونه یک عبارت جبری را با این روش تجزیه کنیم؟
برای تجزیهی یک چندجملهای با روش فاکتورگیری یا خارج کردن عامل مشترک، مراحل زیر را قدم به قدم طی کنید:
گام اول: شناسایی عامل مشترک (ب.م.م)
به ضرایب عددی و قسمتهای حروفی (متغیرها) همهی جملات نگاه کنید. ب.م.م ضرایب و کوچکترین توان هر متغیر مشترک را پیدا کنید.
گام دوم: نوشتن عامل مشترک بیرون از پرانتز
عامل مشترک پیدا شده را در سمت چپ یک پرانتز مینویسیم.
گام سوم: تقسیم هر جمله بر عامل مشترک و نوشتن نتیجه درون پرانتز
هر جمله از عبارت اصلی را بر آن عامل مشترک تقسیم کرده و حاصل را داخل پرانتز مینویسیم. این مرحله، مرحلهی تقسیم ذهنی است.
گام چهارم: سادهسازی درون پرانتز
عبارت داخل پرانتز را مرتب و ساده میکنیم.
مثال آموزشی: عبارت $ 6x^3y + 9x^2y^2 $ را تجزیه کنید.
گام اول: شناسایی ب.م.م ب.م.م ضرایب 6 و 9 برابر 3 است. ب.م.م قسمت حروفی: متغیر $ x $ با کوچکترین توان $ x^2 $ و متغیر $ y $ با کوچکترین توان $ y $ است. پس عامل مشترک کل عبارت $ 3x^2y $ میشود.
گام دوم و سوم: قرار دادن عامل مشترک و تقسیم مینویسیم: $ 6x^3y + 9x^2y^2 = 3x^2y(\ \ ) $. حالا هر جمله را بر $ 3x^2y $ تقسیم میکنیم:
حاصل تقسیم $ 6x^3y \div 3x^2y = 2x $.
حاصل تقسیم $ 9x^2y^2 \div 3x^2y = 3y $.
گام چهارم: نتیجه نهایی اکنون این مقادیر را درون پرانتز قرار میدهیم:
$ 6x^3y + 9x^2y^2 = 3x^2y(2x + 3y) $.
عامل مشترک در زندگی روزمره: تقسیم عادلانه!
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارد، اما اصلاً اینطور نیست! فرض کنید شما و دوستتان تصمیم گرفتهاید یک ساندویچ بزرگ و یک پیتزا را با هم شریک شوید و بخورید. میخواهید آنها را طوری بین خودتان تقسیم کنید که هر دو نفر از هر دو غذا سهم مساوی ببرند. اینجا یک عامل مشترک داریم: تعداد افراد (2 نفر).
حالا یک مثال عددی: شما 12 قطعه پیتزا و 18 تکه ساندویچ دارید. بزرگترین مقداری که میتوانید به طور مساوی بین 2 نفر تقسیم کنید چقدر است؟ بله، همان ب.م.م این دو عدد، یعنی 6. این یعنی در یک تقسیمبندی ایدهآل (اگر امکانپذیر بود)، میتوانستید بستههای 6 تایی از هر غذا درست کنید. در تجزیه ریاضی هم دقیقاً همین کار را میکنیم: بزرگترین بخش مشترک (ب.م.م) را از داخل جملات بیرون میکشیم تا یک عبارت سادهتر و فشرده (مانند یک بسته واحد) به دست آوریم.
یا در باغبانی: فرض کنید دو نوع گلدان دارید. در یک طرح تزئینی میخواهید آنها را کنار هم بچینید به طوری که در هر ردیف، تعداد مساوی از هر نوع گلدان قرار گیرد. برای به دست آوردن بیشترین تعداد گلدان در هر ردیف، باز هم به سراغ ب.م.م تعداد گلدانهای هر نوع میروید.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، الزامی به خارج کردن بزرگترین عامل مشترک نیست و از نظر جبری اشتباه محسوب نمیشود، اما کار ما را ناتمام میگذارد. هدف اصلی در تجزیه، سادهترین شکل ممکن است. مانند این است که کسر $ \frac{4}{8} $ را به $ \frac{2}{4} $ ساده کنید. درست است، اما سادهترین شکل آن که $ \frac{1}{2} $ است، به دست نمیآید. همیشه سعی کنید ب.م.م را خارج کنید تا جواب نهایی شما دیگر قابل سادهتر شدن نباشد.
پاسخ: هنگام خارج کردن عامل مشترک، علامت آن را نیز در نظر بگیرید. بهتر است علامت منفی را نیز به عنوان بخشی از عامل مشترک بیرون بکشید تا کار سادهتر شود. مثال: $ -4a + 2ab = 2a(-2 + b) $ درست است، اما شکل زیباتر و مرسومتر این است: $ -4a + 2ab = -2a(2 - b) $. میبینید که در شکل دوم، داخل پرانتز سادهتر به نظر میرسد.
پاسخ: یک راه حل ساده و قوی داریم: باز کردن پرانتز (ضرب عامل بیرون در داخل پرانتز). اگر پس از ضرب، به عبارت اولیه برگردید، کارتان درست است. برای مثال آخرمان: $ 3x^2y(2x + 3y) = 6x^3y + 9x^2y^2 $. چون دقیقاً به عبارت اول رسیدیم، تجزیه صحیح بوده است.
پاورقی
1 ب.م.م: بزرگترین مقسومعلیه مشترک (Greatest Common Divisor - GCD). بزرگترین عدد یا عبارتی که دو یا چند عدد یا جمله جبری بر آن بخشپذیر باشند.
2 فاکتورگیری (Factoring): همان تجزیه عبارت جبری به حاصلضرب عوامل سادهتر.
3 متغیر (Variable): نمادی (مانند x، y، a) که نشاندهندهی یک عدد مجهول یا متغیر است.
