اتحاد جملهی مشترک: رمزگشایی و سادهسازی عبارتهای جبری
اتحاد جملهی مشترک چیست و چگونه تشخیص داده میشود؟
فرض کنید یک زمین بازی مستطیل شکل داریم. طول این زمین را $x+3$ متر و عرض آن را $x+5$ متر در نظر بگیرید. مساحت این زمین چقدر است؟ برای پیدا کردن مساحت، طول و عرض را در هم ضرب میکنیم: $(x+3)(x+5)$. حالا اگر این ضرب را انجام دهیم، به یک عبارت میرسیم:
به این فرمول، اتحاد جملهی مشترک میگویند. دلیل این نامگذاری این است که در طرف راست فرمول، جملهی $x$ وجود دارد که ضرایب $a$ و $b$ در آن با هم جمع شدهاند. پس یک عبارت درجه دوم به ما میدهد که میتوان آن را به صورت حاصل ضرب دو عبارت سادهتر نوشت. کار اصلی ما در جبر، معمولاً برعکس این مسیر است؛ یعنی از یک عبارت مثل $x^2 + 8x + 15$ شروع میکنیم و به دنبال دو عدد میگردیم که حاصلضربشان 15 و حاصل جمعشان 8 شود. این دو عدد 3 و 5 هستند. پس میتوان نوشت: $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$.
| ویژگی عبارت | مثال | آیا اتحاد جملهی مشترک است؟ |
|---|---|---|
| عبارت درجه دوم و به شکل $x^2 + bx + c$ (ضریب $x^2$ برابر 1 است) | $x^2 + 7x + 10$ | بله |
| عبارت درجه دوم اما ضریب $x^2$ عددی غیر از 1 است | $2x^2 + 5x + 3$ | خیر (روش دیگری دارد) |
| عبارت درجه دوم و به شکل $x^2 + bx - c$ (عدد ثابت منفی است) | $x^2 + 2x - 8$ | بله (اما باید به علامتها دقت کرد) |
| عبارتی که فقط دو جمله دارد | $x^2 + 9x$ | خیر (فاکتورگیری ساده دارد) |
گامبهگام تا فاکتورگیری موفق
برای فاکتورگیری یک عبارت با استفاده از اتحاد جملهی مشترک، این چهار گام را دنبال کنید:
گام اول: تشخیص صحیح. مطمئن شوید عبارت به شکل $x^2 + bx + c$ است و ضریب $x^2$ برابر 1 است.
گام دوم: فهرست اعداد. تمام جفت عددهایی را بنویسید که حاصلضربشان برابر $c$ (عدد ثابت) شود. به علامت $c$ توجه کنید. اگر $c$ مثبت است، هر دو عدد همعلامت هستند. اگر $c$ منفی است، دو عدد متفاوتالعلامت خواهند بود.
گام سوم: انتخاب جفت صحیح. از بین جفتعددهای مرحله قبل، جفتی را انتخاب کنید که حاصل جمع آنها دقیقاً برابر $b$ (ضریب $x$) شود.
گام چهارم: نوشتن نهایی. اعداد پیدا شده را در قالب $(x + \text{عدد اول})(x + \text{عدد دوم})$ بنویسید.
مثال از دنیای واقعی: شما و دوستتان قرار است یک میز مطالعهی مستطیلی بسازید. مساحت صفحهی میز باید $x^2 + 9x + 20$ سانتیمتر مربع باشد. برای برش چوب، باید طول و عرض این مستطیل را بدانید. یعنی عبارت را فاکتورگیری کنید. اعدادی که حاصلضربشان 20 و حاصل جمعشان 9 است، 4 و 5 هستند. پس: $x^2 + 9x + 20 = (x+4)(x+5)$. حالا میدانید طول و عرض میز به ترتیب $x+5$ و $x+4$ است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
۱ اتحاد جملهی مشترک (Common Term Identity / Factoring Quadratics with Leading Coefficient 1): یک روش فاکتورگیری برای چندجملهایهای درجه دومی است که ضریب جملهی $x^2$ در آن برابر ۱ باشد.
۲ فاکتورگیری (Factoring): به عمل تجزیه کردن یک عبارت ریاضی به حاصل ضرب عوامل سادهتر گفته میشود.
۳ معادلهی درجه دو (Quadratic Equation): معادلهای است که بزرگترین توان متغیر در آن برابر ۲ باشد و به شکل کلی $ax^2 + bx + c = 0$ نمایش داده میشود.
