درجهٔ چندجملهای: کلید فهم زبان ریاضیات جبری
چندجملهای و تکجملهای، قطعات سازندهی عبارتها
برای درک مفهوم درجه، ابتدا باید دو قطعهی اصلی بازی را بشناسیم: تکجملهای و چندجملهای.
یک تکجملهای حاصل ضرب یک عدد ثابت (ضریب) در یک یا چند متغیر است که هر متغیر میتواند به یک توان (عدد صحیح و مثبت) رسیده باشد. به این مثالها دقت کنید:
| تکجملهای | ضریب | متغیر(ها) و توان |
|---|---|---|
| $5x^2$ | 5 | x به توان 2 |
| $-3ab$ | -3 | a به توان 1, b به توان 1 |
| $7$ | 7 | بدون متغیر (توان صفر) |
حالا اگر چند تکجملهای را با جمع یا تفریق به هم وصل کنیم، یک چندجملهای میسازیم. مثلاً: $4y^3 - y^2 + 2y - 5$ یک چهارجملهای است.
درجه چیست و چگونه محاسبه میشود؟
هر تکجملهای یک درجه دارد. درجهٔ یک تکجملهای، مجموع توانهای تمام متغیرهای آن است. برای محاسبه، کافی است توان همهی حروف (متغیرها) را با هم جمع کنیم.
| تکجملهای | محاسبهٔ مجموع توانها | درجه |
|---|---|---|
| $6m^4$ | فقط m به توان 4 داریم. | 4 |
| $2x^2y^3$ | توان x برابر 2 و توان y برابر 3 است: 2+3 | 5 |
| $p q r$ | هر سه متغیر توان 1 دارند: 1+1+1 | 3 |
| $9$ | هیچ متغیری نداریم یا توان متغیرها صفر است. | 0 |
پس درجهٔ یک چندجملهای، برابر است با بزرگترین درجه بین تمام تکجملهایهای درون آن. برای مثال، در چندجملهای $A = 4x^3 - 2x^2y + 7xy - 10$ درجههای تکجملهایها به ترتیب 3، 3 (چون 2+1=3)، 2 و 0 هستند. بزرگترین آنها 3 است. بنابراین، درجهٔ چندجملهای A برابر ۳ است.
درجه در دنیای واقعی: از هندسه تا خرید روزانه
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارند، اما اصلاً اینطور نیست! درجه به ما کمک میکند الگوها را بشناسیم و مسائل را سادهتر حل کنیم.
مثال ۱ (محاسبهٔ مساحت): فرض کنید طول یک باغچه $x+2$ متر و عرض آن $x$ متر باشد. مساحت باغچه میشود: $(x+2) \times x = x^2 + 2x$. این یک چندجملهای درجه ۲ است (چون بزرگترین درجه $x^2$ است). درجهٔ ۲ به ما میگوید این فرمول مربوط به یک مساحت (مربع متر) است، درحالیکه فرمول محیط یک شکل سادهتر و معمولاً درجهی ۱ دارد.
مثال ۲ (محاسبهٔ هزینه): شما برای خرید دفتر و خودکار به فروشگاه میروید. قیمت هر دفتر d تومان و هر خودکار c تومان است. اگر 3 دفتر و 5 خودکار بخرید، کل هزینه میشود: $3d + 5c$. این یک چندجملهای درجه ۱ است (هر متغیر توان ۱ دارد). درجهٔ ۱ نشاندهندهی یک رابطهی خطی و ساده است.
مثال ۳ (شناسایی الگو): دانشمندان برای مدلسازی رشد جمعیت باکتریها یا مسیر حرکت یک توپ پرتاب شده، از چندجملهایهای با درجههای مختلف استفاده میکنند. شکل منحنی مسیر توپ (سهمی) با یک معادلهی درجهی ۲ توصیف میشود. پس درجه به ما در تشخیص نوع رابطه و پیچیدگی آن کمک میکند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. باید درجهٔ هر تکجملهای را حساب کنیم: $5x^2y$ درجهاش 3 (2+1), $xy^2$ درجهاش 3 (1+2), $x$ درجهاش 1. پس بزرگترین درجه 3 است.
پاسخ:هیچ نقشی ندارد! ضریب (عدد ثابت) فقط اندازه یا مقیاس تکجملهای را تعیین میکند، اما روی درجه آن تأثیری نمیگذارد. درجه فقط به توانهای متغیرها بستگی دارد.
پاسخ: لزوماً نه. در چندجملهایهایی با بیش از یک متغیر، باید مجموع توانها را در نظر گرفت. مثلاً در $x^2y^3$، توان x عدد 2 است که از 4 کمتر است، اما درجهٔ این تکجملهای 5 میشود.
- درجهٔ یک تکجملهای: مجموع توانهای تمام متغیرهای آن.
- درجهٔ یک چندجملهای: بزرگترین درجه میان تکجملهایهای تشکیلدهندهی آن.
- اعداد ثابت (مانند 7 یا -2) درجهی صفر دارند.
- درجه یک ابزار مفید برای طبقهبندی عبارات جبری و درک رفتار آنها در مسائل کاربردی (محاسبهٔ مساحت، حجم، هزینه و...) است.
پاورقی
1چندجملهای (Polynomial): عبارت جبریای که از مجموع یا تفاضل چند تکجملهای تشکیل شده باشد.
2تکجملهای (Monomial): عبارت جبریای که از حاصل ضرب یک عدد ثابت در یک یا چند متغیر با توانهای عدد صحیح غیرمنفی تشکیل شده باشد.
3درجه (Degree): در این مبحث، به بالاترین مجموع توانهای متغیرها در یک تکجملهای از یک چندجملهای گفته میشود.
4متغیر (Variable): نمادی (مانند x، y، a) که میتواند مقادیر عددی مختلفی بپذیرد.
5ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک تکجملهای، متغیر(ها) در آن ضرب میشود.
