کمیتهای برداری: هنگامی که جهت، مهمتر از عدد میشود
تفاوت بنیادین: نردهای در مقابل برداری
اولین قدم برای درک بردارها، تشخیص تفاوت آنها با کمیتهای معمولی است. به کمیتهایی که تنها با یک عدد و یک واحد مشخص میشوند، کمیت نردهای میگوییم. مثلاً دمای هوا 25 درجهٔ سانتیگراد است یا جرم کتاب 2 کیلوگرم است. این اعداد جهت خاصی را نشان نمیدهند.
اما برخی کمیتها ذاتاً جهتدار هستند. فرض کنید به دوست خود میگویید: «فاصلهٔ کتابخانه از اینجا 500 متر است.» این اطلاعات ناقص است. دوست شما میپرسد: «به کدام سمت؟» برای راهنمایی کامل، باید بگویید: «500 متر به سمت شمال.» اینجا شما یک کمیت برداری (جابهجایی) را توصیف کردهاید: اندازه = 500 متر، جهت = شمال.
| نوع کمیت | تعریف | مثالها |
|---|---|---|
| کمیت نردهای | کمیتی که تنها با اندازه (یک عدد و واحد) به طور کامل مشخص میشود. جهت برای آن تعریف نشده است. | جرم، زمان، دما، حجم، مسافت، چگالی |
| کمیت برداری | کمیتی که برای توصیف کامل آن، هم به اندازه و هم به جهت نیاز داریم. | جابهجایی، سرعت، شتاب، نیرو، وزن، تکانه، میدان الکتریکی |
نمایش بردار: از پیکان تا مختصات
ریاضیدانان و فیزیکدانان برای کار با بردارها، روشهای مختلفی ابداع کردهاند. سادهترین روش، نمایش گرافیکی با یک پیکان است.
روش دیگر، نمایش مختصاتی است که برای محاسبات دقیق تر بسیار کارآمد است. در صفحهٔ دو بعدی، هر بردار را با دو عدد (مؤلفه) نشان میدهیم: مؤلفه در راستای محور x و مؤلفه در راستای محور y. مثلاً بردار $\vec{v} = (3, 4)$ به این معنی است که از نقطهٔ شروع، 3 واحد به راست (محور x مثبت) و 4 واحد به بالا (محور y مثبت) حرکت کنیم.
جمع و تفریق بردارها: ترکیب اثرها
جمع اعداد عادی همیشه سرراست است: 5 + 3 = 8. اما جمع بردارها به جهت آنها بستگی دارد. هدف از جمع برداری، یافتن بردار برآیند7 است که اثر ترکیبی دو یا چند بردار را نشان میدهد.
روش متوازیالاضلاع: اگر دو بردار از یک نقطه شروع شوند، بردار برآیند، قطر متوازیالاضلاعی است که آن دو بردار، دو ضلع مجاورش را میسازند.
روش مثلث (یا چندضلعی): پرکاربردتر است. بردار دوم را طوری جابجا میکنیم که سرش به دم بردار اول برسد. بردار برآیند، برداری است که از دم بردار اول به سر بردار دوم وصل میشود. برای تفریق بردارها، مانند $\vec{a} - \vec{b}$، کافی است جهت بردار $\vec{b}$ را معکوس کرده و سپس با $\vec{a}$ جمع کنیم: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
| موقعیت | بردارهای مؤثر | برآیند و تفسیر |
|---|---|---|
| قایقی در رودخانه |
$\vec{v_b}$: سرعت قایق نسبت به آب (5 m/s به شمال). $\vec{v_r}$: سرعت جریان آب (3 m/s به شرق). |
برآیند: $\vec{v} = \vec{v_b} + \vec{v_r}$. مسیر واقعی قایق، شمال شرقی خواهد بود. اندازهٔ سرعت واقعی از قضیه فیثاغورس: $v = \sqrt{5^2 + 3^2} \approx 5.83$ m/s. |
| کشیدن یک جعبه |
$\vec{F_1}$: نیروی شخص اول (10 N به راست). $\vec{F_2}$: نیروی شخص دوم (10 N به راست). |
برآیند: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. چون جهتها یکسان است، اندازهها مستقیماً جمع میشوند: 20 N به راست. اگر شخص دوم به چپ بکشد (10 N به چپ)، برآیند صفر میشود و جعبه حرکت نمیکند. |
بردارها چگونه جهان اطراف ما را توصیف میکنند؟
کمیتهای برداری در قلب توضیح پدیدههای فیزیکی قرار دارند. در ادامه نقش چند بردار مهم را مرور میکنیم:
نقشهنگاری و مسیریابی: وقتی برنامهٔ نقشهبر روی تلفن همراه میگوید: «200 متر به سمت جنوب شرقی بروید»، در حال دادن یک دستور برداری (جابهجایی) است. مسافت کل طی شده (کمیت نردهای) ممکن است بیشتر باشد، اما جابهجایی خالص (بردار از نقطهٔ شروع به پایان) همان است.
ورزش و بازی: هنگامی که فوتبالیستی توپ را شوت میکند، به آن هم سرعت (بردار) میدهد و هم با زاویهای خاص، جهت آن را مشخص میکند. در بیسبال، وقتی بازیکن میدوید، سرعتش یک بردار است. تغییر جهت ناگهانی او، یعنی تغییر در بردار سرعت، که خود مفهوم شتاب (بردار تغییرات سرعت در واحد زمان) را به میان میآورد.
علوم مهندسی: در ساخت یک پل، مهندسان باید تمام نیروهای وارد بر آن (وزن، کشش کابلها، فشار باد) را که همگی برداری هستند، تحلیل و برآیند آنها را حساب کنند تا پل پایدار بماند. در الکتریسیته، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی نیز کمیتهایی برداری هستند که جهت نیروهای وارد بر بارهای الکتریکی را تعیین میکنند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1نردهای (Scalar): کمیتی که تنها با یک عدد (مقدار) و واحد اندازهگیری مشخص میشود و فاقد جهت است. مانند جرم، زمان و دما.
2برداری (Vector): کمیتی فیزیکی که برای توصیف کامل آن هم به اندازه (مقدار عددی) و هم به جهت نیاز است. مانند نیرو و سرعت.
3اندازه (Magnitude): مقدار عددی یک کمیت (اعم از نردهای یا بزرگی یک بردار). برای بردار، طول پیکان نمایانگر آن است.
4جهت (Direction): سمت و سوی یک کمیت برداری که معمولاً نسبت به یک مرجع (مثلاً شمال جغرافیایی یا یک محور مختصات) بیان میشود.
5جابهجایی (Displacement): کمیت برداری که کوتاهترین فاصله بین نقطهٔ شروع و پایان یک حرکت را همراه با جهت آن نشان میدهد.
6سرعت (Velocity): کمیت برداری که نرخ تغییرات جابهجایی نسبت به زمان را نشان میدهد ($\vec{v} = \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$).
7برآیند (Resultant): برداری که اثر ترکیبی (حاصل جمع برداری) دو یا چند بردار را نشان میدهد.
