تکجملهای درجهیک: راز سادهٔ پیدا کردن توان
تکجملهای چیست؟ شناسایی اعضای خانواده
فرض کن میخواهی یک خوراکی بخرینی. اگر فقط یک بستنی بخری، خریدت خیلی ساده است: $ 1 \times \text{بستنی} $. در جبر، یک تکجملهای دقیقاً همین حالت ساده است: حاصلضرب یک عدد (که به آن ضریب4 میگوییم) در یک یا چند متغیر که هر کدام به یک توان5 صحیح و نامنفی رسیدهاند.
مثالهای زیر همه تکجملهای هستند:
| عبارت جبری | ضریب عددی | متغیر(ها) و توان | تکجملهای؟ |
|---|---|---|---|
| $ 5x $ | 5 | x با توان 1 | بله |
| $ -3m^2 $ | -3 | m با توان 2 | بله |
| $ \frac{1}{2} a b $ | 0.5 | a با توان 1 و b با توان 1 | بله |
| $ x + 4 $ | — | — | خیر (دو جمله دارد) |
درجهٔ یک تکجملهای: توان، کلید اصلی تشخیص
درجهٔ یک تکجملهای، مجموع توانهای تمام متغیرهایش است. اما وقتی فقط یک متغیر داریم، کار بسیار ساده میشود: درجهٔ تکجملهای برابر است با توان همان یک متغیر.
پس برای پیدا کردن درجه، کافی است به دنبال عدد کوچکی که بالای متغیر نوشته شده بگردیم. اگر هیچ عددی نبود، یعنی توان آن 1 است.
| تکجملهای | توان متغیر (n) | درجه |
|---|---|---|
| $ 7y $ | 1 (چون $ y = y^1 $) | 1 |
| $ -t^4 $ | 4 | 4 |
| $ 100 $ | 0 (ثابت است، مثل $ 100x^0 $) | 0 |
| $ \frac{3}{5} z $ | 1 | 1 |
درجهیک در دنیای اطراف ما: قیمت هر کیلو
بیا یک مثال ملموس بزنیم. فرض کن قیمت هر کیلوگرم سیب 8000 تومان است. اگر $ w $ را نشاندهندهٔ وزن سیب (بر حسب کیلوگرم) در نظر بگیریم، کل هزینه میشود: $ \text{هزینه} = 8000 \times w $ یا $ 8000w $.
این یک تکجملهای درجهیک است. چرا؟ چون فقط یک متغیر $ w $ دارد و توان آن هم 1 است (یعنی $ w^1 $). درجهیک بودن نشان میدهد رابطه بین هزینه و وزن، یک رابطه خطی ساده است: هر چه وزن بیشتر، هزینه به همان نسبت بیشتر.
حالا تصور کن برای محاسبه مساحت یک مربع، ضلع را به توان 2 میرسانیم: $ A = s^2 $. این یک تکجملهای درجهدو است. پس توان متغیر ($ s $) مستقیماً به ما درجه را نشان میدهد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این عبارت خودش یک تکجملهای نیست، زیرا از دو تکجملهای $ 5x $ و $ 2x $ تشکیل شده (یک چندجملهای6 است). البته اگر آنها را با هم جمع کنیم ($ 7x $)، حاصل یک تکجملهای درجهیک خواهد شد.
پاسخ: در اعداد ثابت (مثل -4، 12، 0) متغیری وجود ندارد. میتوانیم فرض کنیم این عدد ضریب $ x^0 $ است و چون هر متغیر به توان صفر برابر با 1 میشود، پس $ -4 = -4x^0 $. بنابراین درجهٔ آن صفر است.
پاسخ: در این حالت، درجه برابر است با مجموع توانهای تمام متغیرها. در مثال داده شده، توان $ a $ برابر 1 و توان $ b $ برابر 2 است. پس درجه کل برابر 1 + 2 = 3 میشود.
- تکجملهای سادهترین عبارت جبری، شامل ضریب و متغیر(ها) با توان صحیح است.
- در یک تکجملهای تکمتغیره، درجه به سادگی برابر با توان آن متغیر است.
- اگر متغیر بدون توان نوشته شده باشد، توان آن 1 و درجهٔ تکجملهای 1 است. به چنین عبارتی، تکجملهای درجهیک میگوییم.
- اعداد ثابت، تکجملهایهای درجه صفر هستند.
- این مفهوم در مدلسازی بسیاری از روابط سادهٔ روزمره (مثل محاسبهٔ هزینه بر اساس قیمت واحد) کاربرد دارد.
پاورقی
1. تکجملهای (Monomial).
2. تکجملهای درجهیک نسبت به یک متغیر (First Degree Monomial in One Variable).
3. توان (Exponent/Power).
4. ضریب (Coefficient).
5. توان (در اینجا منظور همان Exponent است).
6. چندجملهای (Polynomial).
