گویا کردن مخرج کسر: چرا و چگونه رادیکال را از مخرج حذف کنیم؟
رادیکال چیست و چرا باید مخرج را گویا کنیم؟
تصور کن میخواهی طول وتر یک مثلث قائمالزاویه4 را محاسبه کنی. طبق قضیهی فیثاغورث5، ممکن است جواب به شکل یک رادیکال مانند $\frac{5}{\sqrt{2}}$ سانتیمتر باشد. حالا اگر بخواهی این طول را روی خط کش ببینی یا با طول دیگری مقایسه کنی، وجود $\sqrt{2}$ در مخرج کار را سخت میکند. هدف از گویا کردن مخرج، تبدیل کسر به شکلی است که مخرج آن یک عدد گویا6 (مثل اعداد صحیح یا اعشاری) باشد. این کار چند مزیت بزرگ دارد:
- سادهتر شدن محاسبات: جمع و تفریق کسرهایی با مخرج رادیکالدار سخت است. با گویا کردن، محاسبات راحتتر میشود.
- تخمین و مقایسهی بهتر: مقدار تقریبی کسر را راحتتر میتوان فهمید. مثلاً سریعتر میفهمی کدام کسر بزرگتر است.
- قانون و رسم ریاضی: در ریاضیات پیشرفتهتر، نوشتن پاسخ نهایی به صورت کسری با مخرج گویا یک استاندارد است.
انواع حالتهای رایج و روش گویا کردن
در سطح نهم، بیشتر با رادیکالهای مربع (ریشهی دوم) سر و کار داریم. بیا حالتهای مختلف را با هم مرور کنیم.
| نوع مخرج | چگونه گویا کنیم؟ | مثال ساده |
|---|---|---|
| یک جملهای رادیکالی $\frac{a}{\sqrt{b}}$ |
صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ($\sqrt{b}$) ضرب کن. زیرا $\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b$. | $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ |
| دو جملهای شامل رادیکال $\frac{a}{b \pm \sqrt{c}}$ |
صورت و مخرج را در مزدوج7 مخرج ضرب کن. مزدوج، همان عبارت با علامت مخالف بین دو جمله است. | $\frac{4}{3+\sqrt{2}}$ → مزدوج: $3-\sqrt{2}$ حل: $\frac{4(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{12-4\sqrt{2}}{9-2} = \frac{12-4\sqrt{2}}{7}$ |
| رادیکال داخل رادیکال (ساده شده) |
ابتدا اگر امکان دارد رادیکال را ساده کن. سپس مانند حالتهای بالا عمل کن. | $\frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ (ابتدا $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ شد) |
از درس تا زندگی: کاربرد گویا کردن در محاسبات عملی
فرض کن در یک کاردستی میخواهی یک قطعه چوب را به طول مشخصی ببری. اگر دستورالعمل بگوید طول باید $\frac{30}{\sqrt{3}}$ سانتیمتر باشد، چگونه روی مترخطکش میبینی؟ اگر مخرج را گویا کنی: $\frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$. حالا میدانی $\sqrt{3} \approx 1.732$، پس طول تقریبی میشود $10 \times 1.732 = 17.32$ سانتیمتر. به راحتی میتوانی این نقطه را روی متر پیدا کنی!
یا در تقسیم یک پیتزا به روشی عادلانه! اگر مساحت یک تکه پیتزا با فرمول $\frac{100}{2+\sqrt{2}}$ سانتیمتر مربع داده شده باشد، برای مقایسهی آن با تکهای دیگر، بهتر است مخرج گویا شود تا محاسبهی مساحت تقریبی آسانتر گردد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، در پاسخ نهایی یک مساله، معمولاً مخرج باید گویا شود. اما وجود رادیکال در صورت کسر مشکلی ندارد و حتی پس از گویا کردن مخرج، رادیکال اغلب به صورت منتقل میشود. مانند مثال $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
پاسخ: اشتباه در پیدا کردن مزدوج و ضرب نکردن کل صورت کسر. به یاد داشته باش که وقتی مخرج را در مزدوجش ضرب میکنی، باید همهی اجزای صورت کسر نیز در آن مزدوج ضرب شوند. همچنین، فراموش نکن که در مخرج از فرمول $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ استفاده کنی.
پاسخ: در این حالت هم اصل کار همان است. کافی است صورت و مخرج را در $\sqrt{3}$ ضرب کنی: $\frac{1 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$. دقت کن که ضریب عددی ($2$) نیز در محاسبه دخیل است.
پاورقی
1گویا کردن مخرج (Rationalizing the Denominator): فرآیند حذف رادیکالها یا عبارات غیرگویا از مخرج یک کسر.
2رادیکال (Radical): علامت ریشه ($\sqrt{}$) که برای نشان دادن ریشهی nام یک عدد به کار میرود. در این مقاله تمرکز بر ریشهی دوم ($\sqrt{}$) است.
3ریشهی مربع (Square Root): عدی که وقتی در خودش ضرب شود، عدد اصلی را میدهد. ریشهی مربع $16$، عدد $4$ است زیرا $4 \times 4 = 16$.
4مثلث قائمالزاویه (Right Triangle): مثلثی که یک زاویهی آن $90$ درجه است.
5قضیهی فیثاغورث (Pythagorean Theorem): در مثلث قائمالزاویه، مجذور وتر برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر.
6عدد گویا (Rational Number): عددی که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت که مخرج آن صفر نباشد.
7مزدوج (Conjugate): برای یک عبارت دو جملهای مانند $a+\sqrt{b}$، مزدوج آن $a-\sqrt{b}$ است و بالعکس. ضرب یک عبارت در مزدوجش، یک عدد گویا میدهد.
