تجزیه عدد داخل رادیکال: کلید سادهسازی اعداد پیچیده
رادیکال چیست و چرا باید آن را ساده کنیم؟
رادیکال یا همان $\sqrt{}$، نمادی است برای یافتن ریشه یک عدد. متداولترین آن، ریشه دوم یا جذر است. برای مثال، $\sqrt{9}$ میپرسد: "کدام عدد را در خودش ضرب کنیم تا 9 شود؟" که پاسخ 3 است. اما $\sqrt{18}$ چه؟ این عدد یک مربع کامل3 نیست، اما میتوانیم آن را سادهتر کنیم تا محاسبات بعدی راحتتر شود، درست مثل ساده کردن کسرها.
ابزار کار ما: تجزیه به عوامل اول
اولین و مهمترین قدم برای تجزیه عدد داخل رادیکال، شکستن آن عدد به عوامل اول4 است. عوامل اول، اعداد اولی هستند که در هم ضرب شدهاند تا عدد اصلی را بسازند. این کار مانند پیدا کردن بلوکهای سازنده یک لگو است.
| عدد اصلی | تجزیه به عوامل اول | نحوه محاسبه |
|---|---|---|
| 72 | $2^3 \times 3^2$ | 72 = 8 × 9 = (2×2×2) × (3×3) |
| 50 | $2 \times 5^2$ | 50 = 2 × 25 = 2 × (5×5) |
| 54 | $2 \times 3^3$ | 54 = 2 × 27 = 2 × (3×3×3) |
گامبهگام: ساده کردن رادیکال مربع (جذر)
فرض کنید میخواهیم یک زمین مربع شکل به مساحت 72 متر مربع داشته باشیم. طول ضلع آن $\sqrt{72}$ متر است. برای محاسبه تقریبی آن، بهتر است رادیکال را ساده کنیم.
مراحل کار:
۱) تجزیه به عوامل اول: همانطور که در جدول دیدیم، $72 = 2^3 \times 3^2$.
۲) پیدا کردن جفت عوامل (مربع کامل): برای ریشه دوم، به دنبال توانهای زوج هستیم. در $3^2$ توان زوج (2) داریم. همچنین از $2^3$ میتوانیم یک جفت $2^2$ (مربع کامل) جدا کنیم و یک 2 تنها بماند.
۳) خارج کردن از رادیکال: هر جفت عامل کامل، یک بار از رادیکال خارج میشود. پس داریم:
$\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \times 3^2} = \sqrt{(2^2 \times 3^2) \times 2} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{2}$
۴) نتیجه نهایی:$\sqrt{2^2} = 2$ و $\sqrt{3^2} = 3$. بنابراین:
$\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
حالا میدانیم طول ضلع زمین $6\sqrt{2}$ متر است. برای تخمین، مقدار $\sqrt{2} \approx 1.414$ را میدانیم، پس طول ضلع تقریباً 8.48 متر میشود. محاسبه با $6\sqrt{2}$ بسیار دقیقتر و زیباتر از $\sqrt{72}$ است!
ساده کردن رادیکال مکعبی
حالا فرض کنید یک مکعب داریم و حجم آن 54 سانتیمتر مکعب است. طول یال آن $\sqrt[3]{54}$ سانتیمتر است. برای سادهسازی ریشه سوم، به دنبال عوامل به توان 3 (سهتایی) میگردیم.
مراحل کار برای $\sqrt[3]{54}$:
۱) عوامل اول: $54 = 2 \times 3^3$.
۲) پیدا کردن سهتایی عوامل (مکعب کامل): $3^3$ یک مکعب کامل است.
۳) خارج کردن از رادیکال: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{2}$.
۴) نتیجه: $\sqrt[3]{3^3} = 3$. پس $\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$.
کاربرد در زندگی: از طراحی تا خرید
شاید بپرسید این محاسبات خشک به چه درد میخورد؟ چند مثال:
۱) طراحی و ساخت: یک نجار میخواهد برای یک قاب عکس مربعی، وسیلهای چوبی به طول $\sqrt{50}$ سانتیمتر ببرد. با ساده کردن ($\sqrt{50}=5\sqrt{2}$)، او میتواند به راحتی با اندازهگیر خود، 5 برابر اندازه $\sqrt{2}$ (حدود 7.07 سانتیمتر) را علامت بزند، که دقت کار را بالا میبرد.
۲) محاسبه مقدار مواد: برای پخت یک کیک در ظرفی با مساحت مشخص، یا خرید فرش برای اتاقی با ابعاد غیر استاندارد، گاهی به اعداد رادیکالی برمیخوریم. سادهسازی کمک میکند تا بتوانیم اعداد را با هم مقایسه و جمع و تفریق کنیم.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، و این یک روش خوب برای بررسی کار است. کافی است عدد خارج شده را به توان همان رادیکال برسانید و دوباره زیر رادیکال ضرب کنید. مثال: $6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \times 2} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{72}$.
پاسخ: دو اشتباه متداول وجود دارد: اول، خارج نکردن بزرگترین مربع یا مکعب کامل. مثلاً در $\sqrt{72}$، بعضی ممکن است $\sqrt{4 \times 18} = 2\sqrt{18}$ را به عنوان جواب نهایی در نظر بگیرند که درست است، اما سادهترین شکل نیست ($\sqrt{18}$ خودش قابل ساده شدن است). دوم، فراموش کردن ضرب کردن عوامل خارج شده در یکدیگر است.
پاسخ: نه همیشه. بعضی اعداد، مثل $\sqrt{15}$ که به عوامل اول $3 \times 5$ تجزیه میشود، هیچ عامل مربع کاملی جز 1 ندارند. پس این رادیکال سادهتر نمیشود و به همین شکل میماند. این اعداد را "رادیکال سادهنشدنی" مینامیم.
پاورقی
1 عوامل (Factors): اعدادی که در هم ضرب میشوند تا عدد بزرگتری را بسازند. به انگلیسی: Factors.
2 مساحت (Area): اندازه سطح یک شکل دو بعدی. به انگلیسی: Area.
3 مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد. مانند 4، 9، 16، 25. به انگلیسی: Perfect Square.
4 عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که در هم ضرب میشوند تا عدد مورد نظر به دست آید. مانند 12 = 2 × 2 × 3. به انگلیسی: Prime Factors.
* رادیکال (Radical): نماد ریشهگیری در ریاضیات ($\sqrt{}$, $\sqrt[3]{}$). به انگلیسی: Radical.
