ریشهٔ سوم و یک قانون کاربردی: جدا کردن ضرب داخل رادیکال
ریشهٔ سوم چیست؟ یک نگاه دوباره
پیش از بررسی قانون اصلی، بیایید مفهوم ریشهٔ سوم یا ریشهٔ مکعب2 را مرور کنیم. ریشهٔ سوم یک عدد، مانند $\sqrt[3]{8}$، عددی است که اگر آن را سه بار در خودش ضرب کنیم (به توان سه برسانیم)، عدد اولیه به دست آید. برای مثال: $\sqrt[3]{8} = 2$ زیرا $2 \times 2 \times 2 = 8$. به همین ترتیب، $\sqrt[3]{27} = 3$ و $\sqrt[3]{125} = 5$.
$\sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$
این قانون به ما اجازه میدهد ریشهٔ سوم یک حاصلضرب بزرگ را به حاصلضرب ریشههای سوم عواملش تجزیه کنیم.
چرا این قانون درست است؟ یک استدلال ساده
فرض کنید $x = \sqrt[3]{a}$ و $y = \sqrt[3]{b}$. طبق تعریف ریشهٔ سوم، داریم: $x^3 = a$ و $y^3 = b$. حالا حاصلضرب $a$ و $b$ را در نظر بگیرید: $ab = x^3 \times y^3 = (x \times y)^3$. اگر از دو طرف معادلهٔ آخر، ریشهٔ سوم بگیریم، به این نتیجه میرسیم: $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{(x \times y)^3} = x \times y = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$. به همین سادگی! این قانون برای ریشههای دیگر مثل ریشه دوم نیز به صورت مشابه برقرار است.
محاسبات سریعتر با استفاده از قانون
این قانون در نگاه اول شاید ساده به نظر برسد، اما قدرت واقعی آن در سادهسازی محاسبات است. جدول زیر چند مثال عددی را نشان میدهد که چگونه با تجزیه، محاسبه را آسانتر میکند.
| محاسبهٔ مستقیم (سخت) | استفاده از قانون (آسان) | نتیجه |
|---|---|---|
| $\sqrt[3]{8 \times 27}$ | $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3$ | 6 |
| $\sqrt[3]{64 \times 125}$ | $\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{125} = 4 \times 5$ | 20 |
| $\sqrt[3]{1000 \times 0.027}$ | $\sqrt[3]{1000} \times \sqrt[3]{0.027} = 10 \times 0.3$ | 3 |
همانطور که میبینید، محاسبهٔ مستقیم ریشهٔ سوم اعدادی مثل 216 (حاصلضرب 8 و 27) شاید نیاز به فکر داشته باشد، اما وقتی آن را به عواملش تجزیه میکنیم، ریشهگیری از هر بخش بسیار سادهتر است.
کاربرد در دنیای واقعی: پیدا کردن اندازه یک جعبه
فرض کنید یک کارتن بزرگ به حجم 1728 سانتیمتر مکعب داریم و میخواهیم طول هر ضلع آن را اگر مکعب3 کامل باشد، پیدا کنیم. یعنی باید $\sqrt[3]{1728}$ را محاسبه کنیم. محاسبهٔ مستقیم این عدد ساده نیست. اما میتوانیم حجم را به عواملش تجزیه کنیم: $1728 = 8 \times 216$. حالا از قانون استفاده میکنیم:
$\sqrt[3]{1728} = \sqrt[3]{8 \times 216} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{216}$.
میدانیم $\sqrt[3]{8} = 2$. اما $\sqrt[3]{216}$ چطور؟ میتوانیم دوباره از قانون استفاده کرده و $216 را به $27 \times 8$ تجزیه کنیم:
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{27 \times 8} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{8} = 3 \times 2 = 6$.
در نهایت، طول ضلع جعبه میشود: $2 \times 6 = 12$ سانتیمتر. این روش مرحلهای و شکستن مسئله به قسمتهای کوچکتر، محاسبه را قابل مدیریت میکند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ:خیر. این یک اشتباه رایج و بسیار مهم است. این قانون فقط برای حاصلضرب (و خارجقسمت) برقرار است و برای جمع و تفریق صدق نمیکند. مثال نقض: $a=1, b=8$. سمت چپ: $\sqrt[3]{1+8}=\sqrt[3]{9} \approx 2.08$. سمت راست: $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3$. واضح است که این دو با هم برابر نیستند.
پاسخ: بله، اما با احتیاط. اگر هر دو عدد a و b منفی باشند، قاعده برقرار است زیرا حاصلضرب آنها مثبت میشود. به طور کلی برای ریشههای فرد (مانند ریشه سوم)، از اعداد منفی هم میتوان ریشه گرفت. مثال: $\sqrt[3]{-8 \times -27} = \sqrt[3]{216} = 6$ و از طرف دیگر $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[3]{-27} = (-2) \times (-3) = 6$.
پاسخ: فرض کنید بخواهیم $\sqrt[3]{8x^3y^6}$ را ساده کنیم. با استفاده از قانون، میتوانیم بنویسیم: $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{x^3} \times \sqrt[3]{y^6}$. این برابر میشود با $2 \times x \times y^2$ یا $2xy^2$. بدون این قانون، ساده کردن مستقیم این عبارت سختتر بود.
- پایهای منطقی و قابل اثبات دارد.
- با مثالهای عددی و کاربردی (مثل محاسبهٔ ابعاد مکعب) قابل درک است.
- محدود به حاصلضرب است و برای جمع و تفریق کاربرد ندارد.
- یادگیری آن سرعت و دقت شما را در حل مسائل ریاضی افزایش میدهد.
پاورقی
1ریشهٔ سوم (Cube Root): عملیات معکوس به توان سه رساندن یک عدد. اگر $y^3 = x$ آنگاه $y = \sqrt[3]{x}$.
2مکعب (Cube): یک شکل سهبعدی که همهٔ اضلاع و زوایای آن برابر است. همچنین به معنای به توان سه رساندن یک عدد نیز به کار میرود.
3خواص رادیکال (Radical Properties): قوانین حاکم بر عملیات ریشهگیری، مانند قانون مورد بحث در این مقاله.
