قانون طلایی: توان یک ضرب، ضرب توانها است
مفهوم پایه: توان چیست و چرا به این قانون نیاز داریم؟
قبل از پرداختن به قانون، بیایید توان را مرور کنیم. توان۱ یک روش کوتاهنویسی برای نشان دادن ضرب مکرر یک عدد در خودش است. مثلاً $ 5^3 $ یعنی 5 × 5 × 5 که برابر 125 است.
حالا فرض کنید بخواهیم عبارت $(2 \times 3)^4$ را محاسبه کنیم. یک راه این است که اول پرانتز را حساب کنیم: 2 × 3 = 6 و سپس $ 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296 $. اما راه سادهتر، استفاده از قانون توانرسانی ضرب است.
$(ab)^m = a^m \cdot b^m$
این قانون برای هر تعداد عامل در ضرب نیز صدق میکند: $(abc)^m = a^m \cdot b^m \cdot c^m$
طبق این قانون برای مثال قبل داریم: $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = (16) \times (81) = 1296$ . میبینید که نتیجه یکسان است.
اثبات گامبهگام و درک شهودی قانون
بیایید قانون را با یک مثال عددی ساده مرحله به مرحله ثابت کنیم. میخواهیم نشان دهیم $(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2$.
گام ۱: سمت چپ معادله را بر اساس تعریف توان مینویسیم: $(x \cdot y)^2 = (x \cdot y) \times (x \cdot y)$.
گام ۲: حالا بدون در نظر گرفتن ترتیب ضرب، میتوانیم عوامل را دوباره مرتب کنیم. همهی xها را کنار هم و همهی yها را کنار هم قرار دهیم: $(x \cdot y) \times (x \cdot y) = (x \cdot x) \times (y \cdot y)$.
گام ۳: حالا دوباره از تعریف توان استفاده میکنیم: $(x \cdot x) = x^2$ و $(y \cdot y) = y^2$.
گام ۴: بنابراین داریم: $(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2$. همین منطق برای هر توان طبیعی دیگر مثل ۳، ۴ و ... نیز کار میکند.
| عبارت | روش محاسبه بدون قانون | روش محاسبه با قانون $(ab)^m = a^m b^m$ | نتیجه (یکسان) |
|---|---|---|---|
| $(5 \times 2)^3$ | (10) × (10) × (10) | $5^3 \times 2^3 = 125 \times 8$ | 1000 |
| $(a \times 4)^2$ | $(4a) \times (4a)$ | $a^2 \times 4^2 = a^2 \times 16$ | $16a^2$ |
| $(2x y)^2$ | $(2xy) \times (2xy)$ | $2^2 \times x^2 \times y^2$ | $4 x^2 y^2$ |
کاربرد قانون در مسائل دنیای واقعی و هندسه
این قانون فقط برای حل تمرین کتاب نیست! در زندگی روزمره و درک فضا به کارمان میآید.
مثال ۱: محاسبهٔ حجم یک انبار فرض کنید یک انبار مستطیلی شکل داریم که طول آن L، عرض آن W و ارتفاع آن H متر است. اگر بخواهیم ابعاد آن را دو برابر کنیم (یعنی هر بعد در ۲ ضرب شود)، حجم جدید چقدر میشود؟
حجم اولیه: $ V = L \times W \times H $
ابعاد جدید: 2L، 2W، 2H
حجم جدید: $ V_{new} = (2L) \times (2W) \times (2H) $
حالا از قانون استفاده میکنیم. میتوانیم عدد ۲ را از هر سه عامل بیرون بکشیم: $ V_{new} = (2 \times 2 \times 2) \times (L \times W \times H) = 2^3 \times V = 8V $. پس حجم جدید ۸ برابر حجم اولیه میشود، نه ۲ یا ۳ برابر! این را قانون توانرسانی ضرب به راحتی نشان داد.
مثال ۲: محاسبه مساحت یک باغ فرض کنید یک زمین کشاورزی مربع شکل دارید که هر ضلع آن $ 3x $ متر است. مساحت آن چقدر است؟
مساحت مربع = (ضلع) × (ضلع). بنابراین: $ Area = (3x)^2 $. طبق قانون: $ (3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 $. این یعنی مساحت زمین، ۹ برابر مساحت مربعی با ضلع x است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر! این یک اشتباه بسیار رایج است. قانون توانرسانی فقط برای ضرب داخل پرانتز است، نه برای جمع.
مثال غلط:$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. برای بررسی، اعداد را جایگزین کنید: $(3+2)^2 = 5^2 = 25$. اما اگر اشتباه عمل کنیم میشود: $3^2+2^2=9+4=13$ که غلط است. برای حل $(a+b)^2$ باید از اتحاد مثلثاتی استفاده کرد.
برای تقسیم، قانون مشابه اما با یک تفاوت کوچک برقرار است. توان روی کسر برابر است با توان صورت تقسیم بر توان مخرج.
مثال درست:$\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3}$. این قانون گاهی از همان قانون ضرب استنباط میشود، زیرا تقسیم بر یک عدد مانند ضرب در معکوس آن است.
در این حالت از قانون «توانِ توان» استفاده میکنیم. اما وقتی آن عبارت بخشی از یک ضرب بزرگتر است، قانون اصلی پابرجاست.
مثال ترکیبی:$(a^2 \cdot b)^3$. طبق قانون اصلی، هم $a^2$ و هم $b$ به توان ۳ میرسند: $(a^2)^3 \cdot b^3$. حالا از قانون توانِ توان روی $a^2$ استفاده میکنیم: $a^{2 \times 3} \cdot b^3 = a^6 b^3$.
- قانون توانرسانی ضرب: $(ab)^m = a^m \cdot b^m$. این قانون برای سادهسازی محاسبات بسیار قدرتمند است.
- این قانون فقط برای ضرب (و تقسیم) داخل پرانتز کاربرد دارد و برای جمع و تفریق اشتباه است.
- با استفاده از این قانون میتوان تغییرات مقیاس در محیط اطراف (مثل بزرگ کردن ابعاد یک اتاق) را به راحتی تحلیل کرد.
- همیشه مراقب باشید که توان را به تکتک عاملهای ضرب شده داخل پرانتز اعمال کنید.
پاورقی
۱ توان (Exponent): به عدد کوچکی که در بالا و سمت راست یک عدد یا متغیر نوشته میشود و نشاندهندهٔ تعداد دفعات ضرب آن عدد در خودش است.
۲ قاعده توان (Power of a product rule): نام انگلیسی قانونی که در این مقاله بررسی شد.
