عدم قطعیت¹: محدوده خطا در اندازه‌گیری

مفاهیم بنیادی: خطا، دقت و صحت

قبل از پرداختن به عدم قطعیت، باید سه مفهوم مهم و مرتبط را بشناسیم: خطا، دقت⁵ و صحت⁶. این مفاهیم مثل سه دوستی هستند که همیشه با هم دیده می‌شوند.

حالا عدم قطعیت را می‌توان به عنوان محدوده‌ای که مقدار واقعی به احتمال زیاد در آن قرار دارد تعریف کرد. این محدوده، تمام خطاهای ممکن را در بر می‌گیرد. عدم قطعیت به ما می‌گوید که نتیجه اندازه‌گیری ما چقدر قابل اعتماد است.

منشأ عدم قطعیت: از کجا می‌آید؟

عدم قطعیت از منابع مختلفی ناشی می‌شود. برای یک دانش‌آموز در آزمایشگاه، مهم‌ترین منابع عبارتند از:

• ابزار اندازه‌گیری (خطای وسیله): هیچ ابزاری بی‌نقص نیست. کوچک‌ترین مقداری که یک خط‌کش یا کولیس می‌تواند نشان دهد (مقیاس کوچک‌ترین تقسیم) یک محدودیت ایجاد می‌کند. مثلاً خط‌کشی که تا میلی‌متر درجه‌بندی شده، نمی‌تواند اندازه‌ای مثل 12.34 mm را به وضوح نشان دهد.
• شخص اندازه‌گیرنده (خطای مشاهده‌گر): پارالکس⁷ (خطای دید ناشی از زاویه نگاه)، قضاوت در خواندن مقادیر بین خطوط درجه‌بندی و حتی زمان‌بندی واکنش در آزمایش‌های زمان‌دار، همگی خطا ایجاد می‌کنند.
• شیء یا پدیده‌ای که اندازه‌گیری می‌شود: یک دماسنج وقتی داخل آب گرم می‌شود، خودش کمی آب را خنک می‌کند! یا طول یک کش لاستیکی در دمای مختلف، تغییر می‌کند.
• شرایط محیط: دما، رطوبت، لرزش و نور می‌توانند بر ابزار و شیء مورد اندازه‌گیری اثر بگذارند.

کمی‌سازی عدم قطعیت: عدد و رقم

چگونه عدم قطعیت را به صورت عددی نشان می‌دهیم؟ دو روش متداول وجود دارد:

۱. عدم قطعیت مطلق: این روش ساده‌ترین راه است. ما یک محدوده ± را به نتیجه اضافه می‌کنیم. مثلاً اگر طول یک میز را 120.5 cm اندازه گرفته‌ایم و خط‌کش ما دقت 0.1 cm دارد، نتیجه را اینگونه گزارش می‌دهیم: طول = $(120.5 \pm 0.1)\; cm$.

این یعنی ما مطمئن هستیم که طول واقعی میز بین 120.4 cm و 120.6 cm قرار دارد.

۲. عدم قطعیت نسبی و درصدی: گاهی اوقات مهم است بدانیم عدم قطعیت نسبت به خود اندازه چقدر است. یک خطای 0.1 cm در اندازه‌گیری قد یک نفر (170 cm) بسیار ناچیز است، اما همان خطا در اندازه‌گیری ضخامت یک مو (0.1 cm) فاجعه‌بار است!

عدم قطعیت نسبی از تقسیم عدم قطعیت مطلق بر مقدار اندازه‌گیری شده به دست می‌آید و اغلب به درصد تبدیل می‌شود:

همانطور که در جدول می‌بینید، اندازه‌گیری ضخامت برگ کاغذ با یک خط‌کش معمولی، عدم قطعیت درصدی بسیار بالایی دارد (چون عدم قطعیت مطلق قابل مقایسه با خود اندازه است). برای چنین اندازه‌گیری‌هایی باید از روش‌های غیرمستقیم یا ابزار دقیق‌تر (مثل کولیس) استفاده کرد.

عدم قطعیت در آزمایش‌گاه مدرسه: گام به گام

بیایید یک آزمایش واقعی در کلاس فیزیک را بررسی کنیم: اندازه‌گیری شتاب گرانش ($g$) با استفاده از آونگ ساده.

فرمول دوره تناوب آونگ این است: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ که از آن می‌توان نوشت: $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$.

در این آزمایش، ما طول آونگ ($L$) و زمان $n$ بار نوسان کامل ($t$) را اندازه می‌گیریم تا دوره تناوب ($T = t/n$) را محاسبه کنیم.

مراحل محاسبه عدم قطعیت:

1. اندازه‌گیری‌ها: طول $L$ را با متر (عدم قطعیت مثلاً ±0.1 cm) و زمان $20$ نوسان را با کرونومتر (عدم قطعیت مثلاً ±0.2 s) اندازه می‌گیریم.
2. محاسبه مقادیر مرکزی: فرض کنید $L = 100.0\; cm$ و $t = 40.0\; s$ شد. پس $T = 40.0 / 20 = 2.00\; s$ و $g = (4 \times (3.14)^2 \times 1.000) / (2.00)^2 \approx 9.86\; m/s^2$.
3. انتشار عدم قطعیت: وقتی کمیتی (مثل $g$) از چند کمیت اندازه‌گیری شده ($L$ و $T$) محاسبه می‌شود، عدم قطعیت‌ها «منتشر» می‌شوند. یک قانون سرانگشتی ساده این است: عدم قطعیت درصدی در $g$، تقریباً برابر است با مجموع عدم قطعیت درصدی در $L$ و دو برابر عدم قطعیت درصدی در $T$ (چون $T$ به توان $2$ رسیده است).

در مثال ما: $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.1}{100.0} = 0.001 = 0.1\%$ و $\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.01}{2.00} = 0.005 = 0.5\%$ (توجه: عدم قطعیت $t$ برابر 0.2 s است، پس عدم قطعیت $T$ می‌شود 0.2/20 = 0.01 s).

پس: $\frac{\Delta g}{g} \approx 0.1\% + (2 \times 0.5\%) = 1.1\%$.

بنابراین عدم قطعیت مطلق $g$ می‌شود: $\Delta g = 9.86 \times 0.011 \approx 0.11\; m/s^2$.

نتیجه نهایی: ما شتاب گرانش را به صورت $g = (9.9 \pm 0.1)\; m/s^2$ گزارش می‌کنیم. این نتیجه نشان می‌دهد مقدار واقعی $g$ به احتمال زیاد بین 9.8 و 10.0 $m/s^2$ است که با مقدار پذیرفته شده جهانی (9.81 m/s²) سازگاری دارد. گزارش عدم قطعیت به کار ما اعتبار علمی می‌بخشد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ Uncertainty (عدم قطعیت): محدوده‌ای که مقدار واقعی یک کمیت اندازه‌گیری شده با احتمال مشخصی در آن قرار دارد.

² Measurement (اندازه‌گیری): فرآیند تعیین مقدار یک کمیت فیزیکی با استفاده از ابزار.

³ Uncertainty (عدم قطعیت): معادل فارسی همان شماره ۱.

⁴ Error Margin / Range of Error (محدوده خطا): معادل دیگر برای عدم قطعیت.

⁵ Precision (دقت): اشاره به تکرارپذیری و پراکندگی نتایج اندازه‌گیری‌های مکرر.

⁶ Accuracy (صحت): اشاره به نزدیکی مقدار اندازه‌گیری شده به مقدار واقعی یا مرجع.

⁷ Parallax (پارالکس): خطای دید که وقتی رخ می‌دهد که ناظر از زاویه‌ای غیر از عمود به صفحه درجه‌بندی ابزار نگاه کند.

⁸ Systematic Error (خطای سیستماتیک): خطایی که در تمام اندازه‌گیری‌ها به یک صورت و جهت ثابت تأثیر می‌گذارد (مثلاً اشتباه در کالیبره بودن صفر ابزار). برخلاف خطای تصادفی، با تکرار اندازه‌گیری حذف نمی‌شود.