تشابه لوزیها: راز شکلهای به ظاهر یکسان
لوزی دقیقاً چیست و چه ویژگیهایی دارد؟
لوزی یک چهارضلعی مخصوص است که همهی ضلعهای آن با هم برابرند. اما برخلاف مربع، الزاماً همهی زاویههای آن قائمه نیستند. تصور کنید یک مربع را از دو گوشه بگیرید و آن را بکشید. شکل همچنان لوزی میماند اما زاویههایش تغییر میکنند. این تغییر زاویه، همان کلید اصلی ماجراست.
ویژگیهای اصلی هر لوزی عبارتند از:
- چهار ضلع هماندازه.
- ضلعهای روبرو با هم موازی هستند (یک متوازیالاضلاع خاص).
- قطرها بر هم عمودند و یکدیگر را نصف میکنند.
- زاویههای روبرو با هم برابرند.
| ویژگی | لوزی | مربع | توضیح |
|---|---|---|---|
| طول ضلعها | همه برابرند | همه برابرند | شرط اصلی لوزی بودن |
| زاویهها | زوایای روبرو برابر، اما میتوانند غیرقائمه باشند. | همه 90° | تفاوت اصلی: مربع یک لوزی خاص با زوایای قائمه است. |
| تشابه با لوزی دیگر |
نه لزوماً
|
همیشه بله
|
همه مربعها به دلیل زوایای یکسان حتماً متشابهند. |
شرط تشابه دو شکل: فقط اندازهی ضلع کافی نیست!
برای اینکه دو چندضلعی متشابه۱ باشند، باید دو شرط اصلی برقرار باشد:
- زوایای نظیر برابر باشند: هر زاویهای در شکل اول، با زاویهی نظیرش در شکل دوم دقیقاً برابر باشد.
- اضلاع نظیر متناسب باشند: نسبت طول هر ضلع در شکل اول به ضلع نظیرش در شکل دوم، برای همهی ضلعها یک عدد ثابت باشد. به این عدد ثابت «نسبت تشابه» میگوییم.
حالا بیایید این شرایط را برای لوزی بررسی کنیم. فرض کنید یک لوزی با زاویههای $60^\circ$ و $120^\circ$ داریم. آیا هر لوزی دیگری با این زوایا با آن متشابه است؟ بله! چون شرط اول (برابری زاویه) برقرار است و شرط دوم هم به طور خودکار صادق است چرا که در لوزی همه ضلعها با هم برابرند، بنابراین نسبت هر ضلع به ضلع نظیرش در لوزی دیگر، برای همهی ضلعها یکسان خواهد بود.
دو لوزی $ABCD$ و $A'B'C'D'$ متشابه هستند اگر و تنها اگر:
$\angle A = \angle A'$ (و در نتیجه $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, $\angle D = \angle D'$).
در این حالت نسبت تشابه برابر است با: $k = \frac{AB}{A'B'}$.
مثال از دنیای اطراف: الماسها و پنجرههای سنتی
برای درک بهتر، به طرح یک گل دستی الماس نگاه کنید. الماسهایی که برای تزئین استفاده میشوند، اغلب به شکل لوزی برش میخورند. اما یک الماس با برش "لوزی دراز" (با زاویههای تند و باز) با یک الماس با برش "لوزی پهن" (با زاویههایی نزدیک به مربع) شبیه هم نیستند. هر دو لوزی هستند، اما چون زاویههایشان متفاوت است، شکل کلی متفاوتی دارند و در هندسه، متشابه محسوب نمیشوند.
مثال دیگر، شبکهبندی پنجرههای سنتی یا طراحی کاشیهای لوزی شکل است. اگر نقشهای داشته باشید که از لوزیهای هماندازه با زاویههای یکسان تشکیل شده، همهی آن لوزیها متشابه و حتی متطابق هستند. اما اگر در قسمتی از طرح، زاویهی لوزیها را عمداً تغییر دهند تا طرح جالبتری ایجاد شود، آن لوزیهای جدید با لوزیهای اولیه تنها در یک چیز مشترکند: هر چهار ضلعشان برابر است. اما به دلیل تفاوت زاویه، متشابه نیستند.
پرسشهای مهم و باورهای نادرست
پاسخ: خیر. داشتن ضلعهای هماندازه (یا حتی متناسب) به تنهایی کافی نیست. برابری زاویههای نظیر شرط اصلی است. دو لوزی با ضلع 10 سانتیمتر، یکی با زاویه 30° و دیگری با زاویه 80°، اصلاً شبیه هم به نظر نمیرسند و در هندسه هم متشابه نیستند.
پاسخ: بله! این دقیقاً شرط لازم و کافی برای تشابه لوزیهاست. اگر زاویههای نظیر دو لوزی برابر باشند، به دلیل خاصیت لوزی (برابری تمام اضلاع در هر شکل)، نسبت اضلاع نظیر به طور خودکار ثابت خواهد بود. پس برابری زاویهها برای لوزیها کافی است.
پاسخ: همهی مربعها لوزیهایی با زاویهی قائمه هستند. از آنجا که زاویهی همهی مربعها 90° است، شرط برابری زاویه بین هر دو مربع برقرار است. در نتیجه همهی مربعها با هم متشابهند. اما در دنیای لوزیها، زاویه میتواند از 0° تا 180° (غیر شامل) تغییر کند، پس شرط برابری زاویه به طور خودکار بین هر دو لوزی وجود ندارد.
• لوزی یک چهارضلعی با چهار ضلع برابر است.
• تشابه دو شکل نیازمند برابری زاویههای نظیر و تناسب اضلاع نظیر است.
• برای لوزیها، اگر زاویههای نظیر برابر باشند، تشابه حتمی است (تناسب اضلاع خودبهخود رعایت میشود).
• از آنجا که لوزیها میتوانند زاویههای مختلفی داشته باشند، پس هر دو لوزی لزوماً متشابه نیستند.
• مربع یک حالت خاص از لوزی است که در آن همه زاویهها برابرند (90°)، بنابراین همه مربعها با هم متشابه هستند.
پاورقی
۱تشابه (Similarity): در هندسه، به رابطهی بین دو شکل گفته میشود که دارای زاویههای برابر و اضلاع متناسب باشند. به عبارت ساده، مانند یک کپی بزرگ یا کوچک شده از هم هستند.
۲لوزی (Rhombus): یک چهارضلعی که همهی چهار ضلع آن با هم هماندازه هستند. نوع خاصی از متوازیالاضلاع است.
