زاویهها و ضلعهای متناظر در شکلهای متشابه
تشابه یعنی چه؟ از عکس تا نقشه
فرض کنید یک عکس از خودتان را با موبایل میگیرید و سپس آن را Zoom میکنید (بزرگنمایی میکنید). آیا صورت شما در عکس اول و عکس بزرگ شده تغییر میکند؟ خیر. فقط اندازهی عکس بزرگتر شده است. این سادهترین تعریف تشابه است. دو شکل متشابه، دقیقاً همشکل هستند ولی لزوماً هماندازه نیستند. یک جفت کفش ورزشی از دو سایز مختلف، طرح یک ساختمان و نقشهی آن، یا دو مثلثی که معلمتان روی تخته میکشد، همگی نمونههایی از شکلهای متشابه در زندگی هستند.
چگونه زاویهها و ضلعهای متناظر را پیدا کنیم؟
برای تشخیص ضلعها و زاویههای متناظر، باید به ترتیب رأسها دقت کنیم. وقتی میگوییم دو مثلث $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ متشابه هستند، این نوشتار به ما میگوید که کدام رأس در مثلث اول، با کدام رأس در مثلث دوم متناظر است. ترتیب حروف مهم است!
| رأس متناظر | زاویهی متناظر | ضلع متناظر |
|---|---|---|
| A با D | $\angle A = \angle D$ | ضلع BC (مقابل A) با ضلع EF |
| B با E | $\angle B = \angle E$ | ضلع AC با ضلع DF |
| C با F | $\angle C = \angle F$ | ضلع AB با ضلع DE |
مثال: اگر $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ و اندازهی ضلع AB = 4 و ضلع متناظر آن DE = 8 باشد، آنگاه نسبت تشابه از کوچک به بزرگ برابر است با: $k = \frac{DE}{AB} = \frac{8}{4} = 2$. یعنی هر ضلع در مثلث بزرگ، 2 برابر ضلع متناظر آن در مثلث کوچک است.
تشابه در عمل: از رویا تا واقعیت
تصور کنید میخواهید برای پروژهی علوم، یک ماکت از برج آزادی بسازید. شما ارتفاع واقعی برج را میدانید. برای این که ماکت شما دقیق و زیبا باشد، باید تمام قسمتهای آن را به یک نسبت مشخص کوچک کنید. این نسبت، همان نسبت تشابه است. اگر نسبت تشابه را $\frac{1}{100}$ انتخاب کنید، یعنی هر 1 سانتیمتر روی ماکت، معادل 100 سانتیمتر (1 متر) در واقعیت است. در این حالت، تمام زاویههای برج واقعی و ماکت کاملاً برابر میمانند و فقط طول ضلعها (ابعاد) تغییر میکند.
مثال دیگر، نقشهی جغرافیا است. در پایین هر نقشه، مقیاس آن نوشته شده است، مثلاً 1:50000. این مقیاس، در واقع همان نسبت تشابه از نقشه (شکل کوچک) به منطقهی واقعی (شکل بزرگ) است. اگر روی نقشه فاصلهی دو شهر 2 سانتیمتر باشد، فاصلهی واقعی آنها 2 × 50000 = 100000 سانتیمتر یا 1 کیلومتر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. برای تشابه دو مستطیل، علاوه بر برابر بودن تمام زاویهها (که همه $90^\circ$ هستند)، باید نسبت طول به عرض در هر دو مستطیل یکسان باشد. یک مستطیل 3 در 4 با مستطیل 6 در 8 متشابه است (نسبت طول به عرض هر دو $\frac{3}{4}$ است). اما مستطیل 3 در 4 با مستطیل 4 در 3 متشابه نیست، چون نسبت ابعاد آنها متفاوت است.
پاسخ: اگر نسبت تشابه دو شکل (نسبت ضلعهای متناظر) برابر $k$ باشد:
- نسبت محیطها نیز دقیقاً برابر $k$ است.
- نسبت مساحتها برابر با $k^2$ (مربع نسبت تشابه) است. مثلاً اگر یک ماکت، 10 بار کوچکتر از مدل واقعی باشد ($k=\frac{1}{10}$)، مساحت سطح ماکت $(\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$ مساحت واقعی خواهد بود.
پاسخ: خیر، نه همیشه. برای مثلثها قواعد سادهتری وجود دارد که در پایههای بعدی میخوانید، مثل: اگر اندازههای دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث متشابه هستند (زاویه-زاویه). این قاعده کار را بسیار راحت میکند.
پاورقی
1 شکلهای متشابه (Similar Figures): اشکالی که زاویههای متناظر برابر و ضلعهای متناظر متناسب دارند.
2 متناظر (Corresponding): بخشهایی از دو شکل متشابه که در موقعیت نسبی یکسانی قرار دارند.
3 نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی که از تقسیم طول هر ضلع از یک شکل بر طول ضلع متناظر آن در شکل متشابه دیگر به دست میآید.
4 مثلث (Triangle)
5 مقیاس (Scale)
