قضیهٔ نیمساز: معجزهای ساده در هندسه
نیمساز چیست و قضیه آن چه میگوید؟
تصور کنید یک کیک شکلاتی شکل دارید و میخواهید آن را به دو قسمت کاملاً مساوی تقسیم کنید. خطی که از رأس کیک میگذرد و آن را به دو زاویهٔ برابر تقسیم میکند، در واقع نیمساز آن زاویه است. حالا فرض کنید یک مورچه میخواهد روی این نیمساز راه برود. قضیهٔ نیمساز به ما میگوید که این مورچه در هر نقطهای از این خط که بایستد، فاصلهاش از دو لبهٔ کیک (دو ضلع زاویه) دقیقاً یکسان خواهد بود.
اگر $\angle BAC$ یک زاویه و $AD$ نیمساز آن باشد و نقطهای مانند $P$ روی $AD$ قرار گیرد، آنگاه فاصلهٔ نقطه $P$ از ضلع $AB$ و فاصلهاش از ضلع $AC$ با هم برابرند. به عبارت دیگر: $PH = PJ$.
این «فاصله» در هندسه، به معنای کوتاهترین مسیر از نقطه به خط است، یعنی طول عمودی که از نقطه بر ضلع زاویه فرود میآید (عمود).
چگونه قضیه نیمساز را اثبات کنیم؟
برای درک بهتر، میتوانیم این قضیه را با مفاهیم همسانی مثلثها3 که از قبل آموختهاید، گامبهگام اثبات کنیم. این مراحل را در جدول زیر دنبال کنید:
| مرحله | شرح و ترسیم | دلیل (برهان) |
|---|---|---|
| 1 | یک زاویه مانند $\angle BAC$ و نیمساز آن $AD$ را رسم میکنیم. نقطهای مانند $P$ روی $AD$ انتخاب میکنیم. | فرض مسئله. |
| 2 | از نقطه $P$ بر ضلعهای $AB$ و $AC$ عمود میفرستیم. پاهای عمود را به ترتیب $H$ و $J$ مینامیم. پس $PH$ و $PJ$ فاصله نقطه از دو ضلع هستند. | تعریف فاصله نقطه از یک خط. |
| 3 | مثلثهای $\triangle AHP$ و $\triangle AJP$ را در نظر بگیرید. در این دو مثلث: $\angle PAH = \angle PAJ$ (چون $AD$ نیمساز است). | خاصیت نیمساز. |
| 4 | زاویههای $\angle AHP$ و $\angle AJP$ هر دو قائمه ($90^\circ$) هستند. همچنین وتر $AP$ در هر دو مثلث مشترک است. | چون عمود رسم کردهایم و ضلع $AP$ مشترک است. |
| 5 | بنابراین، مثلثهای $\triangle AHP$ و $\triangle AJP$ با هم همنهشت هستند (طبق حالت زاوایه-وتر-زاویه). | اصل همسانی مثلثها. |
| 6 | از همنهشتی این دو مثلث نتیجه میگیریم که $PH = PJ$. | نتیجه نهایی |
کاربرد قضیه نیمساز در زندگی و محیط اطراف
شاید فکر کنید این قضیه فقط داخل کتابهای درسی کاربرد دارد، اما مثالهای زیادی از کاربرد آن در اطراف ما وجود دارد:
مثال ۱: طراحی زمین بازی: فرض کنید میخواهید در یک گوشهٔ مثلثی شکل از پارک، یک آبنما قرار دهید. اگر بخواهید آبنما به هر دو پیادهروی کناری به یک اندازه فاصله داشته باشد تا دسترسی به آن از هر دو طرف عادلانه باشد، باید آن را دقیقاً روی نیمساز آن گوشهٔ پارک بسازید.
مثال ۲: ساخت سقف شیروانی: در ساخت خانههای شیروانی، تیرکی که از رأس سقف به وسط کف اتاق زیرشیروانی میرود، اغلب به گونهای طراحی میشود که فاصلههای جانبی یکسانی ایجاد کند. این تیرک در واقع نقش نیمساز زاویهٔ رأس سقف را ایفا میکند.
مثال ۳: نقشهبرداری و تعیین مرز: اگر دو دیوار با یک زاویه به هم برسند و بخواهید نقطهای پیدا کنید که از هر دو دیوار به یک فاصله باشد (مثلاً برای نصب یک دوربین امنیتی)، کافی است روی نیمساز آن زاویه حرکت کنید.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1 نیمساز (Angle Bisector): خط، پارهخط یا پرتویی که یک زاویه را به دو زاویهٔ مساوی تقسیم میکند.
2 دایرهٔ محاطی (Incircle): دایرهای که درون یک چندضلعی (معمولاً مثلث) قرار میگیرد و به تمام اضلاع آن مماس است.
3 همسانی مثلثها (Congruence of Triangles): دو مثلث که از نظر شکل و اندازه کاملاً یکسان باشند، به طوری که اضلاع و زوایای متناظر آنها با هم برابر باشند.
