چندضلعی مقعر: شکلی منحصر به فرد
چندضلعی مقعر چیست؟ یک تعریف ساده
به زبان ساده، هر شکل بستهای که از خطهای راست تشکیل شده باشد، یک «چندضلعی»[2] است. مثلث، مربع، پنجضلعی و ششضلعی مثالهای آشنا هستند. حالا اگر یکی از گوشههای (زاویههای) داخلی این شکل، به داخل فرو برود، به آن چندضلعی مقعر[3] میگوییم. «مقعر» یعنی فرورفته. برعکس آن، «محدب»[1] است که همهی زاویهها به بیرون برآمده باشند.
مهمترین نشانهی چندضلعی مقعر این است که اگر دو نقطهی داخلی آن را به هم وصل کنید، ممکن است این خط از بیرون شکل عبور کند! برای همین در تعریف موضوع گفتهاند: «شکلی که بعضی پارهخطهای داخلی از بیرون شکل عبور میکنند.» این ویژگی در چندضلعیهای محدب هرگز اتفاق نمیافتد.
مقایسهٔ چندضلعی مقعر و محدب
برای درک بهتر، بیایید این دو شکل را کنار هم مقایسه کنیم. بهترین راه، نگاه کردن به یک جدول مقایسهای است.
| ویژگی | چندضلعی محدب | چندضلعی مقعر |
|---|---|---|
| نمونههای ساده | مربع، مثلث متساویالاضلاع، ششضلعی منتظم | ستاره، شکل عدد هفت انگلیسی (7) بسته |
| زاویههای داخلی | همه کوچکتر از 180° | حداقل یکی بزرگتر از 180° |
| پارهخط داخلی | همیشه کاملاً داخل شکل میماند | ممکن است از محدوده شکل خارج شود |
| قطر[4] ها | همگی درون شکل هستند | برخی ممکن است بیرون از شکل باشند |
چگونه یک چندضلعی مقعر را تشخیص دهیم؟
سه روش ساده برای تشخیص وجود دارد:
۱. روش نگاه کردن: سادهترین راه. اگر شکل، یک یا چند «فرورفتگی» آشکار داشت، مقعر است. مثل یک ستارهی چهارپر که وسطش فرو رفته.
۲. روش زاویه: اگر اندازهگیری زاویه ممکن باشد، کافی است ببینید آیا زاویهای بزرگتر از 180° وجود دارد یا نه. وجود حتی یک زاویه از این نوع، حکم قطعی است.
۳. روش خط کشی (پارهخط داخلی): دو نقطه داخل شکل را که در دو طرف فرورفتگی هستند، انتخاب کنید. اگر خطی که میکشید از بیرون شکل گذشت، شکل مقعر است. به مثال زیر دقت کنید:
چندضلعیهای مقعر در زندگی و هنر ما
شاید فکر کنید این شکلها فقط در کتاب هندسه وجود دارند، اما اشتباه میکنید! آنها همهجا هستند:
• طراحی طلا و جواهرات: بسیاری از تراشهای سنگهای قیمتی یا طرحهای نگینها بر اساس ستاره (یک چندضلعی مقعر معروف) هستند. درخشش خاص ستاره به خاطر لبهها و فرورفتگیهای آن است.
• نشانهها و آرمها: آرم برخی شرکتها یا باشگاههای ورزشی از ستاره تشکیل شده. حتی شکل برخی پنتاگرام (ستاره پنجپر) یک چندضلعی مقعر است.
• معماری مدرن: بعضی از پنجرههای دکوراتیو یا بخشی از نمای ساختمانها ممکن است به شکلهای مقعر طراحی شوند تا سایهروشنهای جذابی ایجاد کنند.
• سرگرمی و بازی: مهرههای برخی بازیهای فکری یا نقشهی بعضی بازیهای رایانهای میتوانند مناطق مقعر داشته باشند. مثلاً یک خلیج کوچک در کنار ساحل در نقشه، یک فرورفتگی است!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. چندضلعی از خطهای راست (پارهخط) تشکیل شده است. دایره هیچ خط راستی در محیط خود ندارد، پس اصلاً در دستهی چندضلعیها قرار نمیگیرد تا مقعر یا محدب باشد.
پاسخ: بله، تقریباً تمام ستارههای معمولی که میشناسیم (مثل ستاره پنجپر) چندضلعیهای مقعر هستند. زیرا حتماً زوایای داخلی بزرگتر از 180° در مرکز بین هر دو پر دارند.
پاسخ: در چندضلعی محدب، معمولاً میتوان شکل را به مثلثهای ساده تقسیم کرد. اما در چندضلعی مقعر، باید دقت بیشتری کرد. گاهی باید مساحت بخشهای اضافی را کم کنیم. یک راه ساده، تقسیم شکل مقعر به چند شکل محدب کوچکتر است.
پاورقی
[1]محدب (Convex Polygon): چندضلعیای که همهی زاویههای داخلی آن کوچکتر از 180° باشد و هر پارهخط واصل دو نقطهی دلخواه درونش، کاملاً درون آن بماند.
[2]چندضلعی (Polygon): یک شکل هندسی مسطح و بسته که با اتصال چند پارهخط راست به دنبال هم ساخته میشود.
[3]چندضلعی مقعر (Concave Polygon): چندضلعیای که حداقل یک زاویهی داخلی بزرگتر از 180° داشته باشد. به آن غیرمحدب (Non-convex) نیز گفته میشود.
[4]قطر (Diagonal): پارهخطی که دو رأس غیر مجاور (غیر همسایه) یک چندضلعی را به هم وصل میکند.
