قدرمطلق مجموع دو عدد: از مفاهیم پایه تا کاربردهای روزمره
قدرمطلق چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
قدرمطلق یک عدد، در واقع فاصله‌ی آن عدد از صفر روی محور اعداد است. از آنجایی که فاصله نمی‌تواند منفی باشد، قدرمطلق همیشه یک عدد مثبت یا صفر است. برای نمایش قدرمطلق از دو خط عمودی استفاده می‌کنیم. برای مثال، قدرمطلق عدد 5 را به صورت $|5|$ می‌نویسیم که برابر 5 است. همچنین قدرمطلق عدد -5 را $|-5|$ می‌نویسیم که آن هم برابر 5 است، زیرا فاصله‌ی هر دو از صفر برابر 5 واحد است.
$ |a| = \begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ -a & \text{if } a
برای درک بهتر، فرض کنید شما 3 قدم به جلو و دوست شما 4 قدم به جلو راه برود. مجموع قدم‌ها 7 قدم است و فاصله‌ی کل از نقطه شروع نیز 7 قدم. اما اگر شما 3 قدم به جلو بروید و دوستتان 4 قدم به عقب برگردد، مجموع قدم‌ها -1 قدم می‌شود! اما فاصله‌ی واقعی شما از نقطه شروع چقدر است؟ اینجاست که قدرمطلق به کمک ما می‌آید: $|-1| = 1$ قدم.
| عدد (a) | قدرمطلق (|a|) | تفسیر |
|---|---|---|
| 7 | 7 | فاصله ۷ واحدی در سمت راست صفر |
| -3 | 3 | فاصله ۳ واحدی در سمت چپ صفر |
| 0 | 0 | همان نقطه صفر است |
| -10.5 | 10.5 | فاصله ۱۰.۵ واحدی در سمت چپ صفر |
بررسی حالات مختلف برای قدرمطلق مجموع
وقتی دو عدد را با هم جمع می‌کنیم و سپس قدرمطلق می‌گیریم، نتیجه به علامت اعداد اولیه بستگی دارد. در این بخش، حالت‌های ممکن را با جزئیات بررسی می‌کنیم.
| حالت | شرایط اعداد | مثال | نتیجه |a+b| | رابطه با |a|+|b| |
|---|---|---|---|---|
| هر دو مثبت | a ≥ 0, b ≥ 0 | $|5 + 3|$ | 8 | =برابر است |
| هر دو منفی | a | $|-4 + (-2)|$ | 6 | =برابر است |
| علامت‌های مخالف | یک عدد مثبت، یک عدد منفی | $|7 + (-10)|$ | 3 | کمتر است |
| صفر | حداقل یکی از اعداد صفر است | $|0 + (-6)|$ | 6 | =برابر است |
همانطور که در جدول بالا مشاهده می‌کنید، تنها زمانی که دو عدد علامت‌های متفاوت دارند، قدرمطلق مجموع آن‌ها از مجموع قدرمطلق‌هایشان کمتر می‌شود. در سایر حالات، این دو مقدار با هم برابرند.
نامساوی مثلثی: یک قانون مهم
همه‌ی حالت‌هایی که در بالا بررسی کردیم را می‌توان در یک قانون کلی به نام نامساوی مثلثی۱ خلاصه کرد. این نامساوی می‌گوید برای هر دو عدد حقیقی $a$ و $b$، رابطه‌ی زیر همیشه برقرار است:
$ |a + b| \leq |a| + |b| $
این فرمول به زبان ساده یعنی: "قدرمطلق مجموع دو عدد، هیچ‌گاه از مجموع قدرمطلق‌های آن دو عدد بیشتر نمی‌شود." این قانون مانند این است که بگوییم مسیر مستقیم بین دو نقطه (قدرمطلق مجموع) همیشه کوتاه‌تر یا مساوی با مسیر غیرمستقیم (مجموع قدرمطلق‌ها) است.
کاربردهای قدرمطلق مجموع در زندگی روزمره
این مفهوم در موقعیت‌های زیادی در اطراف ما دیده می‌شود. فرض کنید از شما می‌پرسند "اختلاف دمای امروز و دیروز چقدر است؟" بدون در نظر گرفتن گرمتر یا سردتر شدن، شما فقط به مقدار تغییر فکر می‌کنید. اگر دیروز دمای هوا 5 درجه و امروز -2 درجه باشد، تغییر دما $|5 + (-2)| = |3| = 3$ درجه نیست! اینجا ما در حال جمع دو دما نیستیم، بلکه تفاضل آن‌ها را محاسبه می‌کنیم: $|5 - (-2)| = |7| = 7$ درجه. این مثال نشان می‌دهد که باید به دقت به مفهوم مسئله توجه کنیم.
مثال دیگر، مدیریت موجودی انبار است. اگر در یک هفته 20 قلم کالا به انبار اضافه شود (ورودی مثبت) و 15 قلم از آن خارج شود (خروجی منفی)، تغییرات خالص موجودی $|20 + (-15)| = |5| = 5$ است. اما اگر بخواهیم کل حجم تراکنش‌ها را بدون توجه به جهت (ورود یا خروج) بدانیم، باید مجموع قدرمطلق‌ها را حساب کنیم: $|20| + |-15| = 20 + 15 = 35$. همانطور که می‌بینید، نامساوی مثلثی اینجا هم صدق می‌کند: 5 ≤ 35.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این تساوی تنها زمانی برقرار است که هر دو عدد $a$ و $b$علامت یکسان داشته باشند (هر دو مثبت یا هر دو منفی) یا حداقل یکی از آن‌ها صفر باشد. در حالتی که علامت‌ها مخالف هم باشند، قدرمطلق مجموع از مجموع قدرمطلق‌ها کمتر خواهد بود.
خیر. اگر $|a| = |b|$، تنها می‌توان نتیجه گرفت که $a = b$یا$a = -b$. برای مثال، اعداد 5 و -5 قدرمطلق یکسان (5) دارند، اما خودشان با هم برابر نیستند.
این نام از هندسه گرفته شده است. در یک مثلث، طول هر ضلع همیشه از مجموع طول دو ضلع دیگر کوچک‌تر است. اگر سه نقطه $A$, $B$ و $C$ داشته باشیم، فاصله مستقیم $AC$ همیشه کوچک‌تر یا مساوی با مجموع فاصله‌های $AB$ و $BC$ است. این مفهوم در جبر به صورت قدرمطلق مجموع ترجمه شده است.
در این مقاله آموختیم که قدرمطلق، فاصله یک عدد از صفر است و همیشه مقداری غیرمنفی دارد. هنگام بررسی قدرمطلق مجموع دو عدد، فهمیدیم که نتیجه به علامت آن اعداد بستگی دارد و این رابطه توسط قانون مهم نامساوی مثلثی به صورت $|a + b| \leq |a| + |b|$ توصیف می‌شود. با کمک مثال‌های کاربردی از دنیای واقعی و دوری از اشتباهات رایج، اکنون درک بهتری از این مفهوم ریاضی پیدا کرده‌ایم.
پاورقی
۱ نامساوی مثلثی (Triangle Inequality): یک قاعده بنیادی در ریاضیات که بیان می‌دارد برای هر دو عدد حقیقی، قدرمطلق مجموع آن‌ها از مجموع قدرمطلق‌هایشان تجاوز نمی‌کند.
