اعداد اعشاری متناوب: راز رقم‌های تکرارشونده
اعداد اعشاری متناوب چیست؟
تا به حال حین تقسیم کردن یک عدد بر عدد دیگر، با موقعیتی روبرو شده‌اید که نتیجهٔ تقسیم، یک عدد اعشاری با ارقام تکرارشونده است؟ برای مثال، اگر سعی کنید عدد 1 را بر عدد 3 تقسیم کنید، حاصل 0.3333... می‌شود که رقم 3 تا بی‌نهایت ادامه دارد. به چنین اعدادی، اعداد اعشاری متناوب می‌گویند. بخش تکرارشونده را دورهٔ تناوب۳ می‌نامند و برای نشان‌دادن آن، معمولاً یک خط روی ارقام تکرارشونده می‌کشند: 0.3.
انواع اعداد اعشاری متناوب
این اعداد را می‌توان به دو دستهٔ اصلی تقسیم کرد:
| نوع | تعریف | مثال |
|---|---|---|
| متناوب ساده۶ | عددی که بلافاصله بعد از ممیز، دورهٔ تناوب آن شروع می‌شود. | 0.45 (دوره تناوب: 45) |
| متناوب مرکب۷ | عددی که بین ممیز و شروع دورهٔ تناوب، یک یا چند رقم غیرتکراری وجود دارد. | 0.318 (رقم 3 غیرتکراری است) |
از کسر به عدد اعشاری متناوب
چگونه می‌توان فهمید که یک کسر ساده به عدد اعشاری متناوب تبدیل می‌شود؟ پاسخ در مخرج کسر نهفته است. اگر پس از ساده‌سازی کسر، مخرج آن تنها شامل عامل‌های اول 2 و 5 باشد، عدد اعشاری حاصل، مختوم خواهد بود. در غیر این صورت، به یک عدد اعشاری متناوب تبدیل می‌شود.
| کسر | تجزیه مخرج به عوامل اول | نوع عدد اعشاری | نتیجه |
|---|---|---|---|
| $\frac{3}{8}$ | $8 = 2^3$ | مختوم | 0.375 |
| $\frac{2}{3}$ | $3 = 3^1$ | متناوب | 0.6 |
| $\frac{7}{22}$ | $22 = 2 \times 11$ | متناوب | 0.318 |
تبدیل عدد اعشاری متناوب به کسر
شاید برایتان سؤال باشد که چگونه می‌توان یک عدد اعشاری متناوب را به کسر تبدیل کرد. این کار با یک روش جبری ساده انجام می‌شود. فرض کنید می‌خواهیم عدد 0.7 را به کسر تبدیل کنیم.
1. عدد را با حرف $x$ نشان می‌دهیم: $x = 0.\overline{7}$
2. چون فقط یک رقم تکرار می‌شود، دو طرف تساوی را در 10 ضرب می‌کنیم: $10x = 7.\overline{7}$
3. حالا معادلهٔ اول را از معادلهٔ دوم کم می‌کنیم: $10x - x = 7.\overline{7} - 0.\overline{7}$
4. با انجام تفریق داریم: $9x = 7$
5. بنابراین: $x = \frac{7}{9}$
پس 0.7 معادل کسر $\frac{7}{9}$ است.
اعداد متناوب در زندگی روزمره
این اعداد فقط در کتاب‌های ریاضی یافت نمی‌شوند! فرض کنید سه دوست تصمیم می‌گیرند یک پیتزای بزرگ را به طور مساوی بین خودشان تقسیم کنند. هر نفر چه مقداری از پیتزا را دریافت می‌کند؟ پاسخ کسر $\frac{1}{3}$ است که اگر بخواهیم آن را به صورت اعشاری نشان دهیم، می‌شود 0.3. این یعنی هر نفر دقیقاً 0.333... از پیتزا را می‌خورد. مثال دیگر در تبدیل واحدهاست. می‌دانید که یک اینچ برابر با 2.54 سانتی‌متر است. اما اگر بخواهید یک سوم اینچ را به سانتی‌متر تبدیل کنید، حاصل ضرب $\frac{1}{3} \times 2.54$ خواهد بود که نتیجه‌ای اعشاری و متناوب است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله، دقیقاً! از آنجایی که می‌توان هر عدد اعشاری متناوب را به یک کسر (یعنی عدد گویا) تبدیل کرد، پس همهٔ آن‌ها گویا محسوب می‌شوند.
شاید عجیب به نظر برسد، اما بله! اگر از روش تبدیل به کسر استفاده کنیم: $x = 0.\overline{9}$، سپس $10x = 9.\overline{9}$. با کم کردن داریم: $9x = 9$، پس $x = 1$. بنابراین 0.9 = 1.
چون کار با اعداد متناوب نامتناهی در عمل غیرممکن است. برای مثال، اگر در فروشگاه بخواهید یک سوم کیلوگرم جنس بخرید، فروشنده برای شما 0.333 کیلوگرم (یک مقدار تقریبی و گرد شده) وزن می‌کند، نه یک عدد بی‌نهایت رقم!
پاورقی
۱ اعداد اعشاری متناوب (Repeating Decimal): عددی اعشاری که در آن یک دنباله از ارقام، تا بی‌نهایت تکرار می‌شود.
۲ کسرهای ساده (Simple Fractions): اعدادی که به صورت $\frac{a}{b}$ نمایش داده می‌شوند که در آن $a$ و $b$ اعداد صحیح هستند و $b \neq 0$.
۳ دورهٔ تناوب (Repetend): بخشی از عدد اعشاری که به طور نامتناهی تکرار می‌شود.
۴ عدد گویا (Rational Number): هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر نوشت.
۵ عدد اعشاری مختوم (Terminating Decimal): عدد اعشاری که تعداد ارقام آن محدود است.
۶ متناوب ساده (Pure Repeating Decimal): عدد اعشاری متناوبی که بلافاصله پس از ممیز، دوره تناوب آغاز می‌شود.
۷ متناوب مرکب (Mixed Repeating Decimal): عدد اعشاری متناوبی که بین ممیز و آغاز دوره تناوب، یک یا چند رقم غیرتکراری وجود دارد.
