قدر مطلق: فاصله‌ای که هرگز منفی نیست!
قدر مطلق چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
در دنیای اعداد، گاهی فقط اندازه‌ی یک چیز برایمان مهم است، نه جهت آن. فرض کنید می‌خواهید بدانید فاصله‌ی خانه‌تان از مدرسه چقدر است. آیا برایتان مهم است که مدرسه در سمت راست خانه است یا چپ؟ مسلماً خیر! فقط مقدار فاصله مهم است. قدر مطلق در ریاضیات دقیقاً همین مفهوم را نشان می‌دهد: فاصله‌ی یک عدد از نقطه‌ی صفر روی محور اعداد، بدون در نظر گرفتن جهت (مثبت یا منفی بودن).
نماد قدر مطلق، دو خط عمودی است که عدد را در بر می‌گیرد. برای مثال، قدر مطلق عدد $5$ را به صورت $|5|$ می‌نویسیم. از آنجایی که فاصله‌ی ۵ از صفر، ۵ واحد است، می‌گوییم $|5| = 5$. حالا عدد $-5$ را در نظر بگیرید. فاصله‌ی آن از صفر نیز دقیقاً ۵ واحد است. پس $|-5| = 5$.
$ |a| = \begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ -a & \text{if } a
این یعنی اگر عدد مثبت یا صفر باشد، قدر مطلقش با خودش برابر است. اگر عدد منفی باشد، قدر مطلقش برابر است با قرینه‌ی آن (که یک عدد مثبت می‌شود).
برای درک بهتر، محور اعداد زیر را تصور کنید:
| عدد (a) | موقعیت روی محور | فاصله از صفر | قدر مطلق (|a|) |
|---|---|---|---|
| 7 | ۷ واحد در سمت راست صفر | 7 | 7 |
| -4 | ۴ واحد در سمت چپ صفر | 4 | 4 |
| 0 | دقیقاً روی نقطه‌ی صفر | 0 | 0 |
| -2.5 | ۲.۵ واحد در سمت چپ صفر | 2.5 | 2.5 |
ویژگی‌های مهم قدر مطلق
قدر مطلق چند ویژگی جالب و مهم دارد که با دانستن آن‌ها، راحت‌تر می‌توانید مسائل را حل کنید.
| ویژگی | نماد ریاضی | توضیح | مثال |
|---|---|---|---|
| غیرمنفی بودن | $|a| \geq 0$ | قدر مطلق هر عددی همیشه بزرگ‌تر یا مساوی صفر است. | $|-3| = 3$ و $|0| = 0$ |
| قرینه‌پذیری | $|a| = |-a|$ | قدر مطلق یک عدد با قدر مطلق قرینه‌ی آن برابر است. | $|6| = |-6| = 6$ |
| ضرب | $|a \times b| = |a| \times |b|$ | قدر مطلق حاصل‌ضرب، با حاصل‌ضرب قدر مطلق‌ها برابر است. | $|(-3) \times 4| = |-12| = 12$ و $|-3| \times |4| = 3 \times 4 = 12$ |
قدر مطلق در زندگی روزمره
شاید فکر کنید قدر مطلق فقط یک مفهوم خشک ریاضی است، اما مثال‌های ملموس زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
دماسنج: وقتی می‌گویید "امروز ۵ درجه سانتی‌گراد سردتر از دیروز است"، در حال استفاده از مفهوم قدر مطلق هستید. کاهش دما از 10 به 5 درجه، یعنی $|10 - 5| = 5$ واحد تغییر. این تغییر دما، چه مثبت باشد چه منفی، اندازه‌ی آن برای ما مهم است.
مسافت‌سنج خودرو: این وسیله فقط مسافت طی شده را نشان می‌دهد، بدون اینکه جهت حرکت (به شمال، جنوب، شرق یا غرب) برایش مهم باشد. این دقیقاً همان مفهوم قدر مطلق است. اگر 3 کیلومتر به جلو رانندگی کنید و سپس 3 کیلومتر به عقب برگردید، مسافت کل طی شده $|3| + |-3| = 3 + 3 = 6$ کیلومتر است، حتی اگر جابه‌جایی خالص شما صفر باشد.
خط کش: وقتی طول یک مداد را اندازه می‌گیرید، فقط مقدار طول برایتان مهم است، نه اینکه مداد در کدام سمت خط کش قرار گرفته است. این اندازه‌گیری یک مقدار قدر مطلق است.
حل معادلات ساده با قدر مطلق
گاهی در معادلات، مجهول داخل علامت قدر مطلق قرار می‌گیرد. برای حل این معادلات، باید هر دو حالت ممکن (مثبت و منفی) را در نظر بگیریم.
مثال ۱: معادله‌ی $|x| = 7$ را حل کنید.
۱. از تعریف قدر مطلق می‌دانیم که عدد داخل آن می‌تواند مثبت یا منفی باشد، اما خروجی همیشه نامنفی است.
۲. پس اگر $|x| = 7$ باشد، دو حالت داریم:
حالت اول: خود $x$ برابر 7 است. ($x = 7$)
حالت دوم: قرینه‌ی $x$ برابر 7 است، یعنی $x = -7$.
۳. بنابراین جواب معادله دو عدد است: $x = 7$ و $x = -7$.
مثال ۲: معادله‌ی $|x - 2| = 5$ را حل کنید.
۱. عبارت داخل قدر مطلق، یعنی $(x - 2)$، می‌تواند برابر 5 یا برابر -5 باشد.
۲. پس دو معادله داریم:
معادله اول: $x - 2 = 5$ که با حل آن به $x = 7$ می‌رسیم.
معادله دوم: $x - 2 = -5$ که با حل آن به $x = -3$ می‌رسیم.
۳. بنابراین جواب‌های معادله $x = 7$ و $x = -3$ هستند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱قدر مطلق (Absolute Value): به فاصله‌ی یک عدد از مبدأ (صفر) روی محور اعداد گفته می‌شود که همواره مقدار غیرمنفی دارد.
