عددهای حقیقی: دنیای کامل اعداد
اعداد گویا: اعدادی که می‌توان آن‌ها را به صورت کسر نوشت
اعداد گویا، اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت، به شرطی که مخرج کسر صفر نباشد. این اعداد را می‌توان به صورت اعشاری متناوب یا مختوم نیز نشان داد. برای مثال، وقتی یک پیتزا را بین چهار دوست تقسیم می‌کنید، سهم هر نفر معادل $ \frac{1}{4} $ یا 0.25 پیتزا است که یک عدد گویا است.
| نوع عدد گویا | توضیح | مثال از زندگی |
|---|---|---|
| اعداد صحیح | اعدادی مانند ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | تعداد دانش‌آموزان یک کلاس: 30 نفر |
| کسرهای ساده | کسری که صورت و مخرج آن عدد صحیح باشد | نصف یک سیب: $ \frac{1}{2} $ |
| اعداد اعشاری مختوم | اعداد اعشاری که تعداد ارقام اعشار آن‌ها محدود است | قیمت یک بسته مداد: 12.5 هزار تومان |
| اعداد اعشاری متناوب | اعداد اعشاری که یک یا چند رقم آن‌ها به طور نامتناهی تکرار می‌شود | حاصل تقسیم 1 بر 3 که می‌شود 0.333... |
اعداد گنگ: اعدادی مرموز و غیر تکراری
اعداد گنگ، اعدادی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت. نمایش اعشاری این اعداد نه به پایان میرسد و نه تکراری می‌شود. معروف‌ترین مثال‌های آن‌ها عدد پی[4] و رادیکال دو[5] هستند. وقتی قطر یک مربع به ضلع 1 سانتی‌متر را محاسبه می‌کنید، به عدد گنگ $ \sqrt{2} $ می‌رسید که تقریباً برابر 1.414213... است و ادامه آن هیچ‌گاه قطع نمی‌شود و تکرار نمی‌شود.
| ویژگی | عدد گویا | عدد گنگ |
|---|---|---|
| نمایش کسری | قابل نمایش به صورت کسر | غیرقابل نمایش به صورت کسر |
| نمایش اعشاری | متناوب یا مختوم | غیرمتناوب و نامختوم |
| مثال | $ \frac{3}{4} $, 0.5, -2 | $ \pi $, $ \sqrt{5} $ |
محور اعداد حقیقی: خانه‌ی همه‌ی اعداد
همه‌ی اعداد حقیقی، اعم از گویا و گنگ، را می‌توان روی یک محور عددی بی‌نهایت نمایش داد. این محور شبیه یک خط کش بسیار بسیار بلند است که از منفی بی‌نهایت شروع شده و به مثبت بی‌نهایت ختم می‌شود. هر نقطه روی این خط دقیقاً متناظر با یک عدد حقیقی است و هر عدد حقیقی نیز دقیقاً یک نقطه روی این خط را نشان می‌دهد. وقتی قد خود را اندازه می‌گیرید، مثلاً 165.2 سانتی‌متر، این عدد یک نقطه دقیق روی محور اعداد حقیقی است.
اعداد حقیقی در زندگی و علم
از اعداد حقیقی در بسیاری از زمینه‌های زندگی و علم استفاده می‌شود. مهندسان برای طراحی دقیق پل‌ها و ساختمان‌ها از این اعداد استفاده می‌کنند. دانشمندان برای ثبت دقیق نتایج آزمایش‌های خود، مانند اندازه‌گیری دمای هوا (23.7 درجه سانتی‌گراد) یا فاصله‌ی بین دو شهر (245.8 کیلومتر)، از اعداد حقیقی بهره می‌برند. حتی در مالی و اقتصاد نیز برای محاسبه‌ی دقیق قیمت‌ها، سود و زیان، این اعداد کاربرد اساسی دارند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. اعدادی مانند $ \sqrt{-1} $ (عدد موهومی[6]) را نمی‌توان روی محور اعداد حقیقی نمایش داد. این اعداد متعلق به مجموعه بزرگتری به نام اعداد مختلط[7] هستند.
اگر بتوان عدد را به صورت یک کسر ساده (صورت و مخرج آن عدد صحیح و مخرج غیرصفر) نوشت، گویا است. اگر نتوان آن را به این شکل نوشت و نمایش اعشاری آن نامتناهی و غیرمتناوب باشد، گنگ است. برای مثال، عدد 0.75 گویا است چون معادل $ \frac{3}{4} $ است، اما عدد $ \pi $ گنگ است.
بله، عدد صفر یک عدد حقیقی است. از آنجایی که می‌توان آن را به صورت کسر $ \frac{0}{1} $ نوشت، در دسته‌ی اعداد گویا و در نتیجه اعداد حقیقی قرار می‌گیرد.
پاورقی
[1]عددهای حقیقی (Real Numbers): به مجموعه‌ای از اعداد گفته می‌شود که شامل تمام اعداد گویا و گنگ باشد و بتوان آن‌ها را روی یک خط راست نمایش داد.
[2]عددهای گویا (Rational Numbers): به اعدادی گفته می‌شود که بتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت، به طوری که مخرج کسر صفر نباشد.
[3]عددهای گنگ (Irrational Numbers): به اعدادی گفته می‌شود که نتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت. نمایش اعشاری این اعداد نامتناهی و غیرمتناوب است.
[4]عدد پی (Pi - π): یک عدد گنگ که از نسبت محیط دایره به قطر آن به دست می‌آید. مقدار تقریبی آن 3.14159... است.
[5]رادیکال دو (Square Root of 2 - √2): یک عدد گنگ که حاصل تقسیم قطر یک مربع بر ضلع آن است. مقدار تقریبی آن 1.41421... است.
[6]عدد موهومی (Imaginary Number): عددی که مربع آن یک عدد حقیقی غیرموجود باشد، مانند $ \sqrt{-1} $ که با i نشان داده می‌شود.
[7]اعداد مختلط (Complex Numbers): اعدادی که از ترکیب یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی تشکیل شده‌اند، مانند $ a + bi $.
