اجتماع مجموعه‌ها: گردهمایی اعضا
مجموعه چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟
یک مجموعه۲، گردایه‌ای از اشیاء مشخص و متمایز است. این اشیاء می‌توانند هر چیزی باشند: اعداد، حروف، حیوانات یا حتی اسامی دوستانتان. برای مثال، مجموعه‌ای از وسایل ورزشی داخل کوله‌پشتی شما را در نظر بگیرید: یک توپ فوتبال، یک راکت تنیس و یک طناب. هر کدام از این وسایل، یک عضو۳ یا عنصر این مجموعه محسوب می‌شوند. مجموعه‌ها را معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی مانند A، B یا C نشان می‌دهیم و اعضای آن‌ها را داخل آکولاد $\lbrace$ و $\rbrace$ می‌نویسیم.
گاهی برای سادگی، مجموعه‌ها را به صورت نموداری به نام نمودار ون۴ نمایش می‌دهیم. در این نمودار، هر مجموعه به صورت یک دایره یا بیضی نشان داده می‌شود و اعضای آن داخل این شکل قرار می‌گیرند.
تعریف اجتماع مجموعه‌ها
حالا که با مفهوم مجموعه آشنا شدیم، می‌رسیم به اصل مطلب: اجتماع مجموعه‌ها. اجتماع دو مجموعه A و B، مجموعه جدیدی است که شامل همهٔ اعضایی است که حداقل در یکی از این دو مجموعه وجود دارند. نماد اجتماع، حرف $\cup$ است. بنابراین اجتماع A و B را به صورت $A \cup B$ می‌نویسیم.
برای درک بهتر، فرض کنید شما و دوستتان، هر کدام یک مجموعه از بازی‌های ویدیویی مورد علاقه خود دارید.
| شخص | مجموعه بازی‌های مورد علاقه (A) | مجموعه بازی‌های مورد علاقه (B) | اجتماع (A ∪ B) |
|---|---|---|---|
| شما | ماینکرفت، فوتی | — | — |
| دوست شما | — | فوتی، رانندگی | — |
| مجموعه نهایی | — | — | ماینکرفت، فوتی، رانندگی |
همان‌طور که در جدول بالا می‌بینید، بازی «فوتی» در هر دو مجموعه وجود دارد، اما در اجتماع، فقط یک بار نوشته می‌شود. چون در یک مجموعه، اعضا تکراری ندارند.
کاربرد اجتماع مجموعه‌ها در زندگی روزمره
شاید فکر کنید این مفهوم فقط در ریاضیات کاربرد دارد، اما مثال‌های زیادی از اجتماع مجموعه‌ها در اطراف ما وجود دارد.
مثال اول: لیست پخش موسیقی
فرض کنید شما یک لیست پخش به نام «آهنگ‌های آرام» دارید و دوستتان یک لیست پخش به نام «آهنگ‌های انرژیک» دارد. اگر بخواهید یک مهمانی برگزار کنید و از اجتماع این دو لیست استفاده کنید، در نهایت یک لیست پخش بزرگ‌تر خواهید داشت که شامل همه آهنگ‌های آرام و همه آهنگ‌های انرژیک می‌شود. این لیست جدید، همه آهنگ‌هایی را که حداقل در یکی از لیست‌های اولیه بودند، در خود جای داده است.
مثال دوم: خرید از فروشگاه
مادرتان از شما می‌خواهد یک لیست از میوه‌های موجود در یخچال تهیه کنید (مجموعه A: سیب، موز). پدرتان نیز لیستی از میوه‌هایی که دوست دارد بخرید به شما می‌دهد (مجموعه B: پرتقال، موز). وقتی برای خرید به فروشگاه می‌روید، باید اجتماع این دو لیست را بخرید: سیب، موز و پرتقال. توجه کنید که «موز» فقط یک بار در لیست نهایی شما ظاهر می‌شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
در این مقاله یاد گرفتیم که اجتماع مجموعه‌ها یک عمل ساده اما بسیار کاربردی در ریاضیات است که به ما امکان می‌دهد دو یا چند مجموعه را با هم ترکیب کنیم و یک مجموعه جدید حاوی تمام اعضای متمایز آن‌ها ایجاد کنیم. این مفهوم نه تنها در درس ریاضی، بلکه در برنامه‌ریزی، علوم کامپیوتر و تصمیم‌گیری‌های روزمره به کمک ما می‌آید. کافیست به گردآوری لیست‌ها، ادغام علایق یا جمع‌آوری اطلاعات فکر کنید.
پاورقی
۱اجتماع مجموعه‌ها (Set Union): عملگری در نظریه مجموعه‌ها که از ترکیب اعضای دو یا چند مجموعه، یک مجموعه جدید می‌سازد.
۲مجموعه (Set): گردایه‌ای از اشیاء مشخص و متمایز.
۳عضو (Element): هر یک از اجزای تشکیل‌دهنده یک مجموعه.
۴نمودار ون (Venn Diagram): یک نمودار ساده که برای نمایش روابط بین مجموعه‌ها به کار می‌رود.
۵مجموعه تهی (Empty Set): مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد.
۶اشتراک (Intersection): مجموعه‌ای متشکل از اعضایی که هم‌زمان در همه مجموعه‌های داده شده وجود دارند.
