نمودار درختی: نقشه‌ای برای همه راه‌های ممکن
نمودار درختی چیست و چگونه رسم می‌شود؟
یک نمودار درختی شبیه یک درخت وارونه است. ریشه۳ درخت، نقطه شروع ما است. از این ریشه، شاخه‌هایی خارج می‌شوند که هر کدام نشان‌دهنده یک انتخاب یا یک اتفاق ممکن در مرحله اول هستند. سپس از انتهای هر شاخه، برای مرحله بعد، دوباره شاخه‌های جدیدی رشد می‌کنند. این کار را آنقدر ادامه می‌دهیم تا تمام مراحل و تمام انتخاب‌های ممکن را نشان داده باشیم. انتهای هر شاخه نیز یک نتیجه نهایی را نشان می‌دهد.
برای رسم یک نمودار درختی، این مراحل را دنبال کنید:
- ریشه: یک نقطه یا دایره بکشید و آن را نقطه شروع بنامید.
- شاخه‌ها: از ریشه، به ازای هر گزینه در مرحله اول، یک خط (شاخه) خارج کنید و گزینه را کنار آن بنویسید.
- گره‌ها: انتهای هر شاخه یک گره۴ است که نشان‌دهنده وضعیت جدید پس از آن انتخاب است.
- تکرار: از هر گره، شاخه‌های مرحله بعد را رسم کنید. این کار را تا پایان مراحل ادامه دهید.
- نتایج: در انتهای آخرین شاخه‌ها، نتیجه ناشی از آن دنباله از انتخاب‌ها را بنویسید.
| مرحله | توضیح | نماد |
|---|---|---|
| 1 | شروع فرآیند | ● (نقطه یا دایره) |
| 2 | یک انتخاب یا رویداد | ⎯⎯⎯ (خط) |
| 3 | وضعیت پس از یک انتخاب | ● (گره) |
| 4 | نتیجه نهایی | ◯ (دایره توخالی یا نوشتن نتیجه) |
محاسبه احتمال با کمک درخت
یکی از بزرگترین مزایای نمودار درختی، کمک به محاسبه احتمال است. وقتی تمام راه‌های ممکن را می‌بینید، شمردن حالت‌های مختلف بسیار ساده می‌شود. برای پیدا کردن احتمال یک اتفاق خاص:
- تعداد کل نتایج ممکن (همه‌ی برگ‌های انتهای درخت) را بشمارید.
- تعداد نتایجی که مورد علاقه شما هستند (حالت‌های مطلوب) را بشمارید.
- طبق فرمول احتمال، عدد مرحله دوم را بر عدد مرحله اول تقسیم کنید.
یک نکته جالب: اگر روی شاخه‌ها، احتمال هر انتخاب را بنویسید، می‌توانید احتمال کل یک مسیر را با ضرب کردن احتمالات شاخه‌های آن مسیر به دست آورید.
نمودار درختی در زندگی ما
شاید فکر کنید این نمودار فقط در ریاضی کاربرد دارد، اما نمونه‌های زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
- انتخاب غذا: فرض کنید برای ناهار ابتدا باید بین برنج یا ماکارونی یکی را انتخاب کنید (مرحله اول). اگر برنج را انتخاب کنید، در مرحله بعد باید بین خورشت قورمه سبزی یا قیمه یکی را برگزینید. اگر ماکارونی را انتخاب کنید، بین ماکارونی با سس قرمز یا سفید تصمیم می‌گیرید. یک نمودار درختی ساده تمام منوهای ممکن را به شما نشان می‌دهد.
- برنامه‌ریزی برای تعطیلات: مرحله اول: مسافرت به شمال یا جنوب؟ مرحله دوم: با ماشین شخصی یا اتوبوس؟ مرحله سوم: اقامت در هتل یا مهمانخانه؟ نمودار درختی تمام گزینه‌های سفر شما را لیست می‌کند.
- نتایج یک مسابقه: در یک بازی ساده بین دو تیم (مثلاً تیم A و تیم B)، نتیجه می‌تواند برد تیم A، برد تیم B یا تساوی باشد. برای دو بازی پشت سر هم، نمودار درختی تمام ترکیب‌های ممکن نتایج را نمایش می‌دهد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله، مهم است. شما باید از یک منطق ثابت پیروی کنید. معمولاً بهتر است مراحل را به ترتیب زمانی یا اولویت رسم کنید. اگر مراحل را جابجا کنید، ممکن است بعضی از حالت‌ها را فراموش کنید یا نمودارتان نامرتب شود.
این یک نکته بسیار مهم است. در این حالت می‌گوییم انتخاب‌ها «مستقل» نیستند. در نمودار درختی، این موضوع خودبه‌خود مشخص می‌شود. چون شما از هر گره فقط شاخه‌هایی را رسم می‌کنید که در آن وضعیت خاص ممکن هستند. برای مثال، اگر در مرحله اول تنها یک تاس بردارید، انتخاب‌های مرحله دوم با وقتی که دو تاس برمی‌دارید کاملاً متفاوت خواهد بود.
اصل ضرب۵ یک قانون ریاضی برای پیدا کردن «تعداد کل» حالت‌های ممکن است: اگر کاری k مرحله داشته باشد و در مرحله اول n1 راه، در مرحله دوم n2 راه و ... وجود داشته باشد، تعداد کل راه‌ها از ضرب این اعداد به دست می‌آید ($ n1 \times n2 \times ... \times nk $). نمودار درختی همین اصل را به صورت عینی و مصور نشان می‌دهد و علاوه بر تعداد کل، خود حالت‌ها را نیز مشخص می‌کند.
پاورقی
۱ نمودار درختی (Tree Diagram): یک نمایش گرافیکی از نتایج احتمالی که شبیه به ساختار درخت است.
۲ احتمال (Probability): اندازه‌گیری شانس رخ دادن یک پیشامد، به صورت عددی بین صفر (غیرممکن) و یک (قطعیت).
۳ ریشه (Root Node): نقطه آغازین در یک نمودار درختی که هیچ شاخه‌ای به آن وارد نمی‌شود.
۴ گره (Node): نقطه‌ای در نمودار که نشان‌دهنده یک حالت یا تصمیم خاص است و شاخه‌ها از آن خارج می‌شوند.
۵ اصل ضرب (Multiplication Principle): قاعده‌ای در ترکیبیات که برای محاسبه تعداد کل راه‌های انجام چند کار پشت سر هم استفاده می‌شود.
