بردارهای واحد مختصات: نشانه‌های راه صفحه
بردار چیست و واحد به چه معناست؟
قبل از پرداختن به بردارهای واحد، باید بدانیم بردار1 چیست. یک بردار، کمیتی است که هم اندازه دارد و هم جهت. برای درک بهتر، حرکت از خانه به مدرسه را در نظر بگیرید. فقط گفتن "مدرسه 500 متر دور است" کافی نیست؛ باید جهت حرکت را هم بدانیم. این "اندازه و جهت" با هم، یک بردار جابه‌جایی را تشکیل می‌دهند.
حالا فرض کنید فقط جهت برای ما مهم باشد، نه اندازه. مثلاً فقط بخواهیم بدانیم "سمت چپ" کجاست. اینجاست که مفهوم بردار واحد2 به کمک ما می‌آید. یک بردار واحد، بردار خاصی است که اندازه‌اش دقیقاً برابر با 1 واحد است. از این بردارها برای نشان دادن جهت‌های خالص استفاده می‌شود. مانند یک نشانه‌ی راه که فقط جهت را نشان می‌دهد، بدون اینکه بگوید چقدر باید راه بروید.
آشنایی با دستگاه مختصات و محورها
برای نشان دادن مکان نقاط، از صفحه‌ای به نام صفحه مختصات استفاده می‌کنیم. این صفحه از دو خط عمود بر هم به نام‌های محور xها (طول) و محور yها (عرض) تشکیل شده است. نقطه‌ی برخورد این دو محور، مبدأ مختصات نام دارد.
| نام محور | نام دیگر | جهت مثبت | وظیفه |
|---|---|---|---|
| محور xها | محور طول‌ها | سمت راست | نشان دادن موقعیت چپ و راست |
| محور yها | محور عرض‌ها | سمت بالا | نشان دادن موقعیت بالا و پایین |
بردارهای واحد اصلی: i و j
در صفحه مختصات، دو بردار واحد بسیار مهم داریم:
- بردار i: این بردار در جهت مثبت محور xها قرار دارد. یعنی دقیقاً به سمت راست اشاره می‌کند و اندازه‌اش 1 است. نمایش مختصاتی آن به صورت $(1, 0)$ نوشته می‌شود. این یعنی 1 واحد در راستای x و 0 واحد در راستای y.
- بردار j: این بردار در جهت مثبت محور yها قرار دارد. یعنی دقیقاً به سمت بالا اشاره می‌کند و اندازه‌اش 1 است. نمایش مختصاتی آن $(0, 1)$ است. این یعنی 0 واحد در راستای x و 1 واحد در راستای y.
کاربرد بردارهای واحد در نقشه‌خوانی
فرض کنید در یک شهر بازی هستید و نقشه‌ای در دست دارید که روی آن علامت P: (3, 4)$ برای نشان دادن محل پارک نوشته شده. شما در مبدأ (0, 0)$) ایستاده‌اید. چگونه به سمت پارک حرکت کنید؟
این جابه‌جایی را می‌توان به کمک بردارهای واحد توصیف کرد: "سه قدم به سمت راست (یعنی 3\hat{i}$) و سپس چهار قدم به سمت بالا (یعنی 4\hat{j}$)". بردار کل جابه‌جایی شما می‌شود: $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$. این دقیقاً همان مفهوم نمایش مختصاتی (3, 4)$) است. بردارهای واحد i و j مانند دستورالعمل‌های "راست" و "بالا" روی نقشه عمل می‌کنند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. اندازه این بردار از فرمول $\sqrt{2^2 + 0^2} = 2$ به دست می‌آید. از آنجایی که اندازه بردارهای واحد باید دقیقاً برابر 1 باشد، این بردار واحد نیست. این بردار در جهت i است اما اندازه‌اش دو برابر شده.
پاسخ: اگر بردار $(a, b)$ واحد باشد، اندازه آن باید برابر 1 باشد، یعنی: $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$. اگر دو طرف این تساوی را به توان دو برسانیم، رابطه $a^2 + b^2 = 1$ به دست می‌آید. این معادله، معادله یک دایره به شعاع 1 است.
پاسخ: خیر، i و j بردارهای واحد اصلی در راستای محورهای x و y هستند. اما می‌توان بردارهای واحد در هر جهت دیگری نیز ساخت. شرط واحد بودن یک بردار این است که اندازه‌اش 1 باشد. برای مثال، بردار $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ نیز یک بردار واحد است که جهت آن میان دو محور x و y قرار دارد.
پاورقی
1بردار (Vector): یک کمیت فیزیکی یا ریاضی که دارای اندازه و جهت است.
2بردار واحد (Unit Vector): بردارهایی که اندازه‌ی آن‌ها دقیقاً برابر با یک است و برای نشان‌دادن جهت به کار می‌روند.
