جمله‌های متشابه: زبان مخفی ریاضی
جمله‌های متشابه چه هستند؟
فرض کنید در یک فروشگاه، سبد خرید شما شامل 3 عدد سیب و 2 عدد پرتقال است. شما نمی‌گویید «من 5 میوه دارم» زیرا سیب و پرتقال با هم متفاوت‌اند. اما اگر 3 سیب دیگر هم بخرید، حالا 6 سیب دارید. در اینجا، سیب‌ها با هم «متشابه» هستند و می‌توان آن‌ها را جمع زد.
در ریاضی، به هر جزء از یک عبارت جبری که با علامت $+$ یا $-$ از هم جدا می‌شوند، یک جمله می‌گوییم. دو جمله، متشابه هستند اگر قسمت حروف (متغیرها و توان آن‌ها) در هر دو دقیقاً یکسان باشد.
| عبارت جبری | جمله‌های متشابه | دلیل |
|---|---|---|
| $5x + 2y - 3x$ | $5x$ و $-3x$ | هر دو قسمت متغیر $x$ دارند. |
| $ab + 2a^2b$ | هیچ | قسمت متغیرها متفاوت است ($ab$ در مقابل $a^2b$). |
| $7m^2n + 3mn^2$ | هیچ | توان متغیر $m$ و $n$ در دو جمله یکسان نیست. |
چگونه عبارت‌های جبری را ساده کنیم؟
ساده‌سازی یک عبارت جبری، مانند مرتب‌کردن یک کمد شلوغ است. شما همه‌ی لباس‌های مشابه (مانند جوراب‌ها، تی‌شرت‌ها) را کنار هم می‌گذارید و آن‌ها را دسته‌بندی می‌کنید. در ریاضی نیز مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
گام اول: تشخیص جمله‌های متشابه
در عبارت $4x + 5y - 2x + 3y$، جمله‌های دارای $x$ و جمله‌های دارای $y$ را پیدا می‌کنیم.
گام دوم: جمع یا تفریق ضرایب
ضرایب جمله‌های متشابه را با هم ترکیب می‌کنیم:
جمله‌های $x$: $4x + (-2x) = (4-2)x = 2x$
جمله‌های $y$: $5y + 3y = (5+3)y = 8y$
گام سوم: نوشتن عبارت ساده‌شده
عبارت نهایی حاصل از ترکیب نتایج مرحله قبل است: $2x + 8y$
کاربرد جمله‌های متشابه در خرید و محاسبه هزینه
تصور کنید شما و دوستتان برای یک مهمانی خرید می‌کنید. شما 3 بسته نوشابه و 2 بسته پفک خریده‌اید. دوستتان نیز 1 بسته نوشابه و 3 بسته پفک خریده است. اگر قیمت هر بسته نوشابه $w$ تومان و هر بسته پفک $c$ تومان باشد، کل خرید شما چگونه محاسبه می‌شود؟
خرید شما: $3w + 2c$
خرید دوستتان: $1w + 3c$
کل خرید: $(3w + 2c) + (1w + 3c)$
حالا با استفاده از جمع جمله‌های متشابه (جمله‌های $w$ با هم و جمله‌های $c$ با هم) عبارت را ساده می‌کنیم:
$(3w + 1w) + (2c + 3c) = 4w + 5c$
پس کل خرید معادل $4w + 5c$ تومان است. این کار باعث می‌شود محاسبه نهایی بسیار ساده‌تر و منظم‌تر شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این دو جمله متشابه نیستند. زیرا قسمت متغیر آن‌ها ($x$ و $x^2$) یکسان نیستند. توان متغیر $x$ در این دو جمله متفاوت است. پس نمی‌توان ضرایب آن‌ها را باهم جمع کرد. این یک اشتباه رایج است.
بله، کاملاً متشابه هستند. زیرا با وجود جابجایی حروف ($ab$ و $ba$)، از نظر ضرب جابجایی دارند و یکسان محسوب می‌شوند. بنابراین می‌توان آن‌ها را ترکیب کرد: $5ab + (-2ba) = 3ab$.
تمام اعداد ثابت (مانند 7، -4، 10) با یکدیگر جمله‌های متشابه محسوب می‌شوند. زیرا می‌توان آن‌ها را به صورت حاصل‌ضرب عدد در متغیر به توان صفر $($مثلاً $7x^0$) در نظر گرفت که قسمت متغیر همه‌ی آن‌ها یکسان است. پس باید همه‌ی آن‌ها را با هم جمع یا تفریق کرد.
جمله‌های متشابه، ابزاری قدرتمند برای منظم‌کردن و کوتاه‌نویسی عبارت‌های جبری هستند. برای کار با آن‌ها کافی است این سه گام ساده را به خاطر بسپارید: تشخیص جمله‌هایی که قسمت حروف یکسان دارند، ترکیب ضرایب آن‌ها با انجام عمل جمع یا تفریق، و در نهایت نوشتن عبارت ساده‌شده نهایی. با تمرین بیشتر، این فرآیند برای شما به یک عادت تبدیل خواهد شد.
پاورقی
1جمله‌های متشابه (Like Terms): به جمله‌های جبری گفته می‌شود که قسمت متغیر (حروف و توان آن‌ها) در آن‌ها دقیقاً یکسان باشد.
2ضریب (Coefficient): عددی است که در یک جمله جبری در کنار متغیر (حروف) ضرب می‌شود. برای مثال در جمله $5x$، عدد 5 ضریب است.
3عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از اعداد، متغیرها و عمل‌های ریاضی مانند جمع و تفریق است.
4قسمت متغیر (Variable Part): بخشی از یک جمله جبری که شامل حروف (متغیرها) و توان آن‌ها می‌شود.
5ساده‌سازی (Simplification): فرآیند کوتاه‌کردن و مرتب‌کردن یک عبارت جبری با ترکیب جمله‌های متشابه.
