استوانه: سطح هندسی با دو پایه دایره‌ای و سطح جانبی منحنی

استوانه: از شکل‌های روزمره تا محاسبات پیچیده

استوانه چیست و اجزای آن کدامند؟

یک استوانه یک شکل سه‌بعدی است که از دو پایهٔ دایره‌ای هم‌شکل و یک سطح جانبی منحنی تشکیل شده است. این دو دایره دقیقاً بر روی هم منطق هستند و فاصلهٔ بین آن‌ها به صورت یک سطح کمانه‌دار پر شده است. برای درک بهتر، یک قوطی نوشابه یا یک لولهٔ پلاستیکی را تصور کنید.

محاسبه مساحت سطح استوانه

برای محاسبه مساحت کل سطح یک استوانه، باید مساحت دو قاعده دایره‌ای و مساحت سطح جانبی آن را با هم جمع کنیم.

مساحت دو قاعده: از آنجایی که دو قاعده داریم، داریم: $ 2 \times (\pi r^2) $.

مساحت سطح جانبی: اگر استوانه را از طول باز کنیم، یک مستطیل به دست می‌آید. طول این مستطیل برابر محیط دایره قاعده ($ 2 \pi r $) و عرض آن برابر ارتفاع استوانه ($ h $) است. پس مساحت سطح جانبی می‌شود: $ 2 \pi r h $.

مثال: یک استوانه دارای شعاع قاعده 7 سانتی‌متر و ارتفاع 10 سانتی‌متر است. مساحت کل آن چقدر است؟ ($ \pi \approx 3.14 $)

حل:

مرحله ۱: محاسبه مساحت دو قاعده: $ 2 \times 3.14 \times (7)^2 = 2 \times 3.14 \times 49 = 307.72 $ سانتی‌متر مربع.

مرحله ۲: محاسبه مساحت سطح جانبی: $ 2 \times 3.14 \times 7 \times 10 = 439.6 $ سانتی‌متر مربع.

مرحله ۳: جمع کردن دو مقدار: 307.72 + 439.6 = 747.32 سانتی‌متر مربع.

پاسخ: مساحت کل استوانه تقریباً 747.32 سانتی‌متر مربع است.

محاسبه حجم استوانه

حجم به مقدار فضای درون یک شکل سه‌بعدی گفته می‌شود. حجم استوانه از حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع آن به دست می‌آید.

مثال: یک بطری آب معدنی استوانه‌ای شکل را در نظر بگیرید که شعاع قاعده آن 3 سانتی‌متر و ارتفاع آن 20 سانتی‌متر است. این بطری چقدر آب در خود جای می‌دهد؟ ($ \pi \approx 3.14 $)

حل:

مرحله ۱: محاسبه مساحت قاعده: $ 3.14 \times (3)^2 = 3.14 \times 9 = 28.26 $ سانتی‌متر مربع.

مرحله ۲: ضرب مساحت قاعده در ارتفاع: 28.26 × 20 = 565.2 سانتی‌متر مکعب.

پاسخ: حجم بطری 565.2 سانتی‌متر مکعب است. (می‌دانیم که هر 1 سانتی‌متر مکعب معادل 1 میلی‌لیتر است، پس این بطری حدود 565 میلی‌لیتر گنجایش دارد).

استوانه در زندگی و صنعت: از آشپزخانه تا فناوری‌های پیشرفته

شکل استوانه‌ای به‌طور شگفت‌انگیزی در اطراف ما وجود دارد. درک فرمول‌های استوانه به ما کمک می‌کند تا مسائل عملی زیادی را حل کنیم.

مثال کاربردی: یک لولهٔ پلیکا به طول 2 متر و قطر 10 سانتی‌متر داریم. اگر بخواهیم سطح بیرونی این لوله را کاملاً رنگ کنیم، به چه مقدار رنگ نیاز داریم؟ (فرض کنید هر قوطی رنگ برای 1.5 متر مربع کافی است).

حل: ما فقط می‌خواهیم سطح جانبی را رنگ کنیم. پس از فرمول مساحت سطح جانبی استفاده می‌کنیم. اول شعاع را پیدا می‌کنیم: قطر 10 سانتی‌متر است، پس شعاع 5 سانتی‌متر یا 0.05 متر می‌شود. ارتفاع لوله 2 متر است.

مساحت سطح جانبی = $ 2 \pi r h = 2 \times 3.14 \times 0.05 \times 2 = 0.628 $ متر مربع.

حالا تعداد قوطی رنگ را محاسبه می‌کنیم: 0.628 ÷ 1.5 ≈ 0.42.

از آنجایی که نمی‌توان بخشی از یک قوطی را خرید، به 1 قوطی رنگ نیاز داریم.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹استوانه (Cylinder): یک جسم سه‌بعدی که از دو پایهٔ دایره‌ای موازی و یک سطح جانبی منحنی که این دو پایه را به هم متصل می‌کند، تشکیل شده است.

²Fundamental (بنیادین): بسیار مهم و اساسی، به عنوان یک اصل اولیه.