توان ثابت و تقسیم پایه‌ها: وقتی نوبت تقسیم میرسد!
توان و پایه چیست؟ یک یادآوری کوتاه
قبل از شروع، بهتر است دو مفهوم اصلی را مرور کنیم. وقتی می‌نویسیم $ 5^3 $، این یعنی عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم: $ 5 \times 5 \times 5 = 125 $. به عدد 5، پایه۲ و به عدد 3، توان۱ می‌گوییم. توان نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.
اگر دو عدد با پایه‌های متفاوت ولی توان یکسان داشته باشیم و بخواهیم آن‌ها را تقسیم کنیم، می‌توانیم پایه‌ها را تقسیم کرده و توان مشترک را برای نتیجه بنویسیم. به زبان ریاضی:
قانون را با دقت بشناسیم
این قانون فقط زمانی کاربرد دارد که توان۱ دو عبارت کاملاً برابر باشد. در این حالت، شما مجاز هستید که پایه‌ها را بر هم تقسیم کنید و سپس نتیجه را به توان۱ مشترک برسانید. این کار محاسبه را بسیار ساده‌تر می‌کند، مخصوصاً وقتی اعداد بزرگ هستند.
| مثال عددی | روش معمول (حل قدم به قدم) | استفاده از قانون جدید | نتیجه نهایی |
|---|---|---|---|
| $ \frac{10^4}{5^4} $ | $ \frac{10000}{625} = 16 $ | $ \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 $ | 16 |
| $ \frac{6^3}{2^3} $ | $ \frac{216}{8} = 27 $ | $ \left(\frac{6}{2}\right)^3 = 3^3 $ | 27 |
کاربرد قانون در زندگی روزمره
فرض کنید شما و دوستتان یک زمین بازی مربع‌شکل دارید. طول ضلع زمین شما 8 متر و طول ضلع زمین دوستتان 4 متر است. مساحت هر زمین به توان۱ دو طول ضلع آن بستگی دارد (چون مساحت مربع = طول ضلع × طول ضلع). حالا می‌خواهید بدانید مساحت زمین شما چند برابر مساحت زمین دوستتان است.
به جای محاسبه‌ی مساحت هر دو زمین ($ 8^2 = 64 $ و $ 4^2 = 16 $) و سپس تقسیم آن‌ها ($ 64 \div 16 = 4 $)، می‌توانید مستقیماً از قانون استفاده کنید:
$ \frac{8^2}{4^2} = \left(\frac{8}{4}\right)^2 = 2^2 = 4 $
پس مساحت زمین شما دقیقاً ۴ برابر مساحت زمین دوستتان است. این قانون حتی در پخش کردن عادلانه‌ی شکلات بین گروه‌هایی با تعداد نفرات مساوی نیز کاربرد دارد!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. این قانون فقط زمانی صدق می‌کند که توان صورت و مخرج کسر دقیقاً یکسان باشند. به عنوان مثال، $ \frac{2^5}{2^3} $ با $ \frac{4^5}{4^3} $ فرق دارد. در مورد اول پایه‌ها مساوی‌اند و قانون دیگری حکمفرماست.
پاسخ: در آن صورت از قانون دیگری استفاده می‌کنیم: وقتی پایه‌ها مساوی باشند، برای تقسیم، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم. مثلاً: $ \frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 = 4 $. این قانون با قانون این مقاله متفاوت است.
پاسخ: بله، کاملاً مهم است. قانون می‌گوید $ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $. این یعنی عدد $ a $ باید در صورت کسر و عدد $ b $ در مخرج باشد. اگر جای آن‌ها را عوض کنید، نتیجه تغییر می‌کند.
قانون تقسیم با توان‌های مساوی یک ابزار بسیار مفید برای ساده‌سازی محاسبات است. به یاد داشته باشید که شرط اصلی استفاده از این قانون، برابری توان صورت و مخرج کسر است. اگر این شرط برقرار باشد، می‌توانید با خیال راحت پایه‌ها را تقسیم کنید و نتیجه را به توان مشترک برسانید. با تمرین چند مثال ساده، به راحتی بر این مبحث مسلط خواهید شد.
پاورقی
۱توان (Exponent): در ریاضیات، توان نشان می‌دهد که یک عدد (پایه) چند بار در خودش ضرب شده است. برای مثال، در عبارت $ 5^3 $، عدد ۳ توان است.
۲پایه (Base): در یک عبارت توان‌دار، به عددی که در خودش ضرب می‌شود، پایه می‌گویند. برای مثال، در عبارت $ 5^3 $، عدد ۵ پایه است.