خاصیت‌های ضرب: ویژگی‌های ضرب مانند جابه‌جایی عامل‌ها

بروزرسانی شده در: 13:50 1404/08/14 مشاهده: 10 دسته بندی: کپسول آموزشی

خاصیت‌های جالب ضرب

کشف قوانین ساده و کاربردی برای محاسبات سریع‌تر و دقیق‌تر

در این مقاله با مهم‌ترین ویژگی‌های عمل ضرب مانند خاصیت جابه‌جایی^۱، خاصیت شرکت‌پذیری^۲ و خاصیت خنثی^۳ آشنا می‌شویم. این ویژگی‌ها به ما کمک می‌کنند تا مسائل ریاضی را راحت‌تر و سریع‌تر حل کنیم و حتی در زندگی روزمره از آن‌ها استفاده کنیم. در ادامه با مثال‌های ساده و ملموس این مفاهیم را بررسی خواهیم کرد.

سه ویژگی اصلی ضرب

ضرب، برخلاف جمع و تفریق، ویژگی‌های منحصر به فردی دارد که ترتیب اعداد در آن گاهی اوقات اهمیت چندانی ندارد. درک این ویژگی‌ها مانند یادگیری یک میانبر برای رسیدن به جواب است.

نام ویژگی	معنای ساده	نماد ریاضی	مثال کاربردی
خاصیت جابه‌جایی^۱	عوض کردن ترتیب اعداد، جواب را عوض نمی‌کند	$ a \times b = b \times a $	4 × 3 با 3 × 4 برابر است
خاصیت شرکت‌پذیری^۲	چگونگی گروه‌بندی اعداد، جواب را عوض نمی‌کند	$ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $	(2 × 3) × 4 با 2 × (3 × 4) برابر است
خاصیت عدد یک (خنثی)^۳	ضرب هر عدد در یک، خود آن عدد می‌شود	$ a \times 1 = a $	5 × 1 = 5

فرمول طلایی: خاصیت جابه‌جایی می‌گوید مهم نیست اولین عدد چیست و دومین عدد کدام است. برای مثال، چه 6 × 7 را بنویسیم و چه 7 × 6، جواب هر دو 42 خواهد بود.

ضرب در زندگی روزمره

این ویژگی‌ها فقط برای کتاب ریاضی نیستند! آن‌ها در زندگی واقعی هم به کار می‌آیند. فرض کنید در یک مهمانی، می‌خواهید صندلی‌ها را بچینید. اگر 4 ردیف صندلی داشته باشید و در هر ردیف 5 صندلی (4 × 5)، یا برعکس، 5 ردیف با 4 صندلی (5 × 4) بچینید، در هر صورت تعداد کل صندلی‌ها 20 تا خواهد بود. این همان خاصیت جابه‌جایی در عمل است!

یا وقتی می‌خواهید مدادهای 3 جعبه را که در هرکدام 10 مداد است، بین 2 گروه تقسیم کنید. چه ابتدا مدادهای هر جعبه را بشمارید و سپس در 2 گروه قرار دهید ((3 × 10) × 2) و چه ابتدا جعبه‌ها را بین دو گروه تقسیم کنید و سپس مدادهای هر گروه را بشمارید (3 × (10 × 2))، در نهایت هر گروه 30 مداد خواهد داشت. این مثال ساده، خاصیت شرکت‌پذیری را نشان می‌دهد.

سوالات متداول درباره ضرب

آیا خاصیت جابه‌جایی برای تفریق هم وجود دارد؟

خیر. برخلاف ضرب، در تفریق عوض کردن ترتیب اعداد، جواب را کاملاً عوض می‌کند. برای مثال 9 - 5 = 4 است، اما 5 - 9 برابر با -4 می‌شود که جواب متفاوتی است.

عدد یک چگونه در ضرب نقش خنثی دارد؟

عدد یک در ضرب مانند یک آینه عمل می‌کند. هر عددی که در یک ضرب شود، دقیقاً خودش به دست می‌آید. مثلاً 1 × 8 = 8 یا 1 × 15 = 15. به همین دلیل به آن «عنصر خنثی» ضرب می‌گویند.

آیا این ویژگی‌ها برای همه اعداد کاربرد دارند؟

بله، این قوانین برای تمام اعدادی که شما می‌شناسید، از جمله اعداد صحیح^۴ و حتی کسرها^۵، صادق هستند. برای مثال $ \frac{1}{2} \times 4 $ با $ 4 \times \frac{1}{2} $ برابر است و جواب هر دو 2 می‌شود.

جمع‌بندی: خاصیت‌های ضرب، قوانین ساده اما بسیار قدرتمندی هستند. خاصیت جابه‌جایی به ما می‌گوید می‌توانیم ترتیب اعداد را عوض کنیم. خاصیت شرکت‌پذیری اجازه می‌دهد پرانتزها را جابه‌جا کنیم و خاصیت عدد یک نیز تضمین می‌کند که هویت عدد در ضرب حفظ می‌شود. با استفاده از این ویژگی‌ها می‌توانیم محاسبات پیچیده را به محاسبات ساده‌تر تبدیل کنیم.

پاورقی

^۱ خاصیت جابه‌جایی (Commutative Property): عوض کردن ترتیب عامل‌های ضرب، حاصل ضرب را تغییر نمی‌دهد.

^۲ خاصیت شرکت‌پذیری (Associative Property): تغییر جای پرانتزها در ضرب چند عدد، نتیجه را عوض نمی‌کند.

^۳ خاصیت خنثی (Identity Property): ضرب هر عدد در عدد یک، نتیجه را برابر همان عدد می‌کند. به عدد یک، «عنصر خنثی ضرب» نیز گفته می‌شود.

^۴ اعداد صحیح (Integers): مجموعه اعداد طبیعی، صفر و قرینه‌های آن‌ها.

^۵ کسر (Fraction): نمایشی از یک عدد به صورت تقسیم دو عدد صحیح.

خاصیت جابه‌جایی خاصیت شرکت‌پذیری عنصر خنثی ضرب ویژگی‌های ضرب ریاضی پایه سوم

پایهٔ سوم ریاضی سوم خاصیت‌های ضرب

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما