الگوی عددی: راز نظم در دنیای اعداد
انواع اصلی الگوهای عددی
الگوهای عددی را می‌توان به چند دسته‌ی اصلی تقسیم کرد. هر کدام از این الگوها قاعده‌ی مخصوص به خود را دارند که با یادگیری آن‌ها، پیدا کردن عدد بعدی یا حتی عدد nام1 یک دنباله بسیار ساده می‌شود.
| نوع الگو | تعریف | مثال | قاعده |
|---|---|---|---|
| الگوی جمعی (افزایشی) | در هر مرحله یک عدد ثابت به عدد قبلی اضافه می‌شود. | 5, 8, 11, 14, 17, ... | جمع عدد 3 |
| الگوی ضربی (هندسی) | در هر مرحله عدد قبلی در یک عدد ثابت ضرب می‌شود. | 2, 6, 18, 54, ... | ضرب در عدد 3 |
| الگوی مربعی | اعداد به توان دو رسیده‌اند (n2). | 1, 4, 9, 16, 25, ... | $a_n = n^2$ |
| الگوی فیبوناچی2 | هر عدد از جمع دو عدد قبل از خود به دست می‌آید. | 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... | $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ |
چگونه الگوی یک دنباله را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن قاعده‌ی حاکم بر یک دنباله‌ی عددی، باید به تفاوت یا نسبت بین اعداد متوالی دقت کنیم. این فرآیند گام‌به‌گام را با یک مثال دنباله‌ی ساده تمرین می‌کنیم.
دنباله: 3, 7, 11, 15, 19, ...
گام اول: محاسبه‌ی تفاوت‌ها
تفاوت بین عدد دوم و اول: 7 - 3 = 4
تفاوت بین عدد سوم و دوم: 11 - 7 = 4
تفاوت بین عدد چهارم و سوم: 15 - 11 = 4
از آنجایی که تفاوت بین همه‌ی اعداد متوالی ثابت و برابر 4 است، با یک الگوی جمعی روبرو هستیم.
اگر تفاوت مشترک بین اعداد را با $d$ نشان دهیم و اولین عدد دنباله را $a_1$، آنگاه جمله‌ی $n$ام ($a_n$) از فرمول زیر به دست می‌آید: $a_n = a_1 + (n-1)d$ در مثال بالا: $a_1 = 3$ و $d = 4$. پس جمله‌ی دهم این دنباله می‌شود: $a_{10} = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = 39$
الگوهای عددی در دنیای اطراف ما
الگوهای عددی فقط در کتاب‌های درسی وجود ندارند؛ آن‌ها اساس بسیاری از پدیده‌های طبیعی، اقتصادی و هنری هستند. درک این الگوها به ما کمک می‌کند دنیای اطراف خود را بهتر درک و حتی پیش‌بینی کنیم.
مثال ۱: برنامه‌ریزی مالی
فرض کنید هر ماه 50,000 تومان پس‌انداز می‌کنید. موجودی شما در پایان هر ماه یک الگوی جمعی را دنبال می‌کند: ماه اول: 50,000، ماه دوم: 100,000، ماه سوم: 150,000 تومان و الی آخر. با استفاده از فرمول بالا می‌توانید دقیقاً بدانید پس از یک سال چقدر پول جمع کرده‌اید.
مثال ۲: رشد جمعیت باکتری‌ها
اگر یک باکتری هر ساعت تقسیم شود و به دو باکتری تبدیل گردد، تعداد باکتری‌ها یک الگوی ضربی با نسبت 2 را نشان می‌دهد: ساعت صفر: 1، ساعت اول: 2، ساعت دوم: 4، ساعت سوم: 8 و ... این الگو به ما نشان می‌دهد که رشد جمعیت چقدر سریع و انفجاری است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر! لزوماً نه. ممکن است الگو از نوع ضربی، مربعی یا از نوع دیگری مانند فیبوناچی باشد. اگر تفاوت ثابت نبود، مرحله‌ی بعدی محاسبه‌ی «تفاوتِ تفاوت‌ها» یا «نسبت» اعداد متوالی است. برای مثال، در دنباله‌ی مربعی (1, 4, 9, 16)، تفاوت‌ها (3, 5, 7) هستند که خود یک الگوی جمعی را تشکیل می‌دهند.
پاسخ: برای تشخیص الگوی ضربی، باید نسبت هر عدد به عدد قبل از خود را محاسبه کنید (یعنی عدد بعدی را بر عدد قبلی تقسیم کنید). اگر این نسبت برای همه‌ی جفت اعداد متوالی یکسان بود، دنباله هندسی است. به عنوان مثال، در دنباله 5, 10, 20, 40 داریم: $10/5=2$، $20/10=2$، $40/20=2$. پس یک الگوی ضربی با نسبت 2 است.
پاسخ: بله، تقریباً هر الگوی منظمی را می‌توان با یک رابطه یا فرمول ریاضی نشان داد. این فرمول می‌تواند به سادگی $a_n = a_1 + (n-1)d$ باشد یا به پیچیدگی فرمول دنباله‌ی فیبوناچی. پیدا کردن این فرمول، هدف نهایی حل مسئله‌ی الگوی عددی است.
پاورقی
1 عدد nام: به عددی در یک دنباله اشاره دارد که در موقعیت nام قرار گرفته است. معادل انگلیسی: nth Term.
2 فیبوناچی (Fibonacci): نام یک ریاضیدان ایتالیایی که یک دنباله‌ی عددی مشهور را معرفی کرد که در آن هر عدد حاصل جمع دو عدد قبل از خود است. این دنباله در طبیعت بسیار دیده می‌شود.