مفهوم مشتقپذیری روی بازههای گوناگون
بازه باز: مشتقپذیری در نقاط داخلی
به بازه (a,b) که شامل دو سر a و b نمیشود، «بازه باز» میگویند. برای مشتقپذیری یک تابع روی این بازه، کافی است در همه نقاط داخلی، حد دوطرفه نرخ تغییرات وجود داشته باشد. به عبارت دیگر، برای هر نقطه مانند c که a \lt c \lt b، باید \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} موجود باشد. در این حالت نیازی به تعریف مشتق در خود a و b نداریم چون آن نقاط عضو بازه نیستند.
بازه بسته و نیمهباز: نقش مشتق یکطرفه در سرحدها
برای بازه بسته [a,b]، نقاط a و b جزء بازه هستند. برای مشتقپذیری تابع روی این بازه، سه شرط لازم است:
- نقاط داخلی(a,b) : مشتق دوطرفه وجود داشته باشد.
- سر چپ (a) : مشتق راست1 وجود داشته باشد: $f'_+(a)=\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
- سر راست (b) : مشتق چپ2 وجود داشته باشد: $f'_-(b)=\lim_{h \to 0^-} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}$.
در بازه نیمهباز مانند [a,b) نیز، در سر بسته (چپ) مشتق راست لازم است، اما سر راست که باز است نیازی به مشتق چپ ندارد.
| نوع بازه | نقاط داخلی | سر چپ (آغاز) | سر راست (پایان) |
|---|---|---|---|
| باز (a,b) | مشتق دوطرفه | نیاز نیست | نیاز نیست |
| بسته [a,b] | مشتق دوطرفه | متناهی & مشتق راست | متناهی & مشتق چپ |
| نیمهباز [a,b) | مشتق دوطرفه | مشتق راست | نیاز نیست |
کاربرد عملی: بررسی مشتقپذیری توابع چندضابطهای در مرز بازه
فرض کنید تابع زیر را داریم که روی بازه [-1,2] تعریف شده است:
میخواهیم بدانیم آیا روی کل بازه بسته [-1,2] مشتقپذیر است؟
- نقاط داخلی غیر از صفر: در (-1,0) مشتق $2x$ و در (0,2) مشتق $2$ وجود دارد.
- نقطه x=0 (مرز دو ضابطه): مشتق چپ برابر $\lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2+1)-1}{h}=0$ و مشتق راست برابر $\lim_{h \to 0^+} \frac{(2h+1)-1}{h}=2$ است. از آنجا که مشتق چپ و راست برابر نیستند، در نقطه صفر مشتقپذیر نیستیم.
- سر چپ x=-1 : مشتق راست از $f(x)=x^2+1$ برابر $2(-1)=-2$ که متناهی است.
- سر راست x=2 : مشتق چپ از $2x+1$ برابر $2$ که متناهی است.
بنابراین تابع در x=0 به دلیل نابرابری مشتقات یکطرفه مشتقپذیر نیست، حتی اگر در سایر نقاط شرایط برقرار باشد.
مشتقپذیری روی تمام اعداد حقیقی
وقتی گفته میشود تابعی روی (-\infty,+\infty) مشتقپذیر است، یعنی در هر عدد حقیقی مشتق (دو طرفه) وجود دارد. این قویترین حالت مشتقپذیری است و نشان میدهد تابع در تمام نقاط خط اعداد حقیقی رفتاری هموار و بدون گوشه، پرش یا قله دارد. توابع چندجملهای مانند $f(x)=x^3-2x$، توابع نمایی $e^x$ و توابع سینوس و کسینوس روی همه اعداد حقیقی مشتقپذیرند.
چالشهای مفهومی
پاسخ: بله، این امکان وجود دارد. برای مثال تابع $f(x)=\frac{1}{x}$ روی بازه باز (0,1) مشتقپذیر است (مشتق $-\frac{1}{x^2}$)، اما روی بازه بسته [0,1] حتی پیوسته هم نیست (در صفر تعریف نشده) پس مشتقپذیر هم نیست. همچنین تابع $f(x)=\sqrt{x}$ روی (0,4] مشتقپذیر است اما روی [0,4] مشتقپذیر نیست (چون در صفر مشتق راست بینهایت میشود).
پاسخ: پیوستگی روی بازه بسته شرط لازم برای مشتقپذیری است، اما کافی نیست. یعنی هر تابعی که روی بازه بسته مشتقپذیر باشد، حتماً روی آن بازه پیوسته است. اما عکس آن درست نیست. برای مثال تابع $f(x)=|x|$ روی [-1,1] پیوسته است ولی در x=0 مشتقپذیر نیست. بنابراین مشتقپذیری شرط سختتری نسبت به پیوستگی است.
پاسخ: چون برای محاسبه مشتق چپ در نقطه a باید به نقاط کوچکتر از a برویم، اما تابع برای مقادیر کمتر از a (سمت چپ) روی بازه [a,b] تعریف نشده است. بنابراین مشتق در سر چپ تنها از سمت راست قابل بررسی است. به همین دلیل در تعریف مشتقپذیری روی بازه بسته، به جای مشتق دوطرفه در سرها، از مشتق یکطرفه استفاده میکنیم.
مشتقپذیری روی بازههای مختلف نیازمند توجه به نوع بازه و نقاط مرزی است. در بازه باز، فقط نقاط داخلی اهمیت دارند. در بازه بسته، علاوه بر نقاط داخلی، در سر چپ مشتق راست و در سر راست مشتق چپ باید وجود داشته و متناهی باشد. در بازه نیمهباز، فقط سر بسته نیاز به مشتق یکطرفه دارد. مشتقپذیری روی تمام اعداد حقیقی به معنای وجود مشتق دوطرفه در هر نقطه از خط اعداد است. با درک این نکات میتوانیم رفتار توابع را در نقاط مختلف به درستی تحلیل کنیم.
پاورقی
1 مشتق راست (Right-hand derivative): حد راست نرخ تغییرات تابع در یک نقطه که با $f'_+(a)=\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ تعریف میشود.
2 مشتق چپ (Left-hand derivative): حد چپ نرخ تغییرات تابع در یک نقطه که با $f'_-(b)=\lim_{h \to 0^-} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}$ تعریف میشود.