بخشپذیری همزمان: بخشپذیر بودن یک عدد بر چند عدد بهطور همزمان
1. شرط اصلی بخشپذیری بر چند عدد همزمان
یک عدد طبیعی مانند N را در نظر بگیرید. میگوییم N «همزمان» بر اعداد a، b و ... بخشپذیر است، اگر و فقط اگر باقیماندهٔ تقسیم N بر هر یک از آنها صفر باشد. در حالت کلی، برای بخشپذیری همزمان بر اعداد a_1, a_2, ..., a_k، لازم است N بر کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) آن اعداد بخشپذیر باشد. به عبارت دقیقتر:
به عبارت سادهتر، عددی بر چند شمارندهٔ مختلف بخشپذیر است که بر ک.م.م آنها نیز بخشپذیر باشد. برای نمونه، اگر بخواهیم عددی هم بر 4 و هم بر 6 بخشپذیر باشد، باید بر 12 بخشپذیر باشد، زیرا $\mathrm{lcm}(4,6)=12$. در نتیجه اعدادی مانند 12، 24، 36 و ... این ویژگی را دارند.
2. استفاده از تجزیه به عوامل اول برای بررسی همزمان
روش دیگر برای بررسی بخشپذیری همزمان، تجزیهٔ عدد N و مقسومعلیهها به عوامل اول1 است. هرگاه N بر عدد d بخشپذیر باشد، توان هر عامل اول در تجزیهٔ d نباید از توان همان عامل در N بیشتر باشد. برای بخشپذیری همزمان بر چند عدد، کافی است شرط بالا برای تکتک آن اعداد برقرار شود. معادلاً، N باید بر ک.م.مِ آنها بخشپذیر باشد (که از گرفتن بیشترین توان برای هر عامل اول حاصل میشود).
مثال عملی: فرض کنید میخواهیم بدانیم عدد N=720 همزمان بر 8 و 9 و 5 بخشپذیر است یا خیر. تجزیهٔ 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1. تجزیهٔ 8=2^3، 9=3^2 و 5=5^1. از آنجا که توان هر عامل اول در 720 بهاندازهٔ کافی است، 720 بر هر سه عدد بخشپذیر است. همچنین $\mathrm{lcm}(8,9,5)=2^3 \times 3^2 \times 5^1=360$ و 720 بر 360 بخشپذیر است.
3. قواعد بخشپذیری کاربردی و کاربرد همزمان آنها
برای بررسی سریع بخشپذیری یک عدد بر اعداد کوچک، میتوان از قواعد بخشپذیری2 بهره برد. جدول زیر خلاصهٔ مهمترین این قواعد را نشان میدهد:
| مقسومعلیه | قاعده (عدد بر آن بخشپذیر است اگر) |
|---|---|
| 2 | رقم یکان آن زوج باشد. |
| 3 | مجموع ارقام آن بر 3 بخشپذیر باشد. |
| 4 | عدد ساخته شده از دو رقم آخر بر 4 بخشپذیر باشد. |
| 5 | رقم یکان 0 یا 5 باشد. |
| 6 | هم بر 2 و هم بر 3 بخشپذیر باشد (شرط همزمان). |
| 8 | عدد سه رقم آخر بر 8 بخشپذیر باشد. |
| 9 | مجموع ارقام بر 9 بخشپذیر باشد. |
| 10 | رقم یکان 0 باشد. |
برای بخشپذیری همزمان بر چند عدد، میتوان قواعد مربوط به هر کدام را با هم ترکیب کرد. مثلاً یک عدد بر 6 بخشپذیر است که هم بر 2 و هم بر 3 بخشپذیر باشد. یا عدد بر 12 بخشپذیر است که هم بر 3 و هم بر 4 بخشپذیر باشد.
4. مثال عینی: مسئلهٔ دستهبندی اشیاء
فرض کنید 240 عدد مهره داریم. میخواهیم آنها را به دستههای مساوی، بدون باقیمانده، تقسیم کنیم. اگر هر دسته شامل 8 یا 12 یا 15 مهره باشد، آیا ممکن است؟ برای پاسخ، باید بررسی کنیم که 240 همزمان بر 8، 12 و 15 بخشپذیر است یا خیر. ک.م.م را محاسبه میکنیم: $8=2^3$، $12=2^2\times 3$، $15=3\times 5$، بنابراین $\mathrm{lcm}(8,12,15)=2^3\times 3\times 5 = 120$. از آنجا که 240 = 2\times 120، پس 240 بر 120 بخشپذیر است و در نتیجه بهطور همزمان بر هر سه عدد بخشپذیر است. بنابراین میتوانیم مهرهها را دقیقاً هم به دستههای 8تایی (تعداد 30 دسته)، هم 12تایی (تعداد 20 دسته) و هم 15تایی (تعداد 16 دسته) تقسیم کنیم.
5. چالشهای مفهومی
پرسش ۱: آیا بخشپذیری همزمان یک عدد بر دو عدد، با بخشپذیری آن بر حاصلضرب آن دو عدد یکسان است؟
پاسخ: خیر، همیشه یکسان نیست. اگر دو عدد نسبت به هم اول3 باشند (ب.م.م4 آنها 1 باشد)، در این صورت عدد بر حاصلضرب آنها نیز بخشپذیر خواهد بود. اما اگر دو عدد مشترک باشند (مثل 4 و 6)، ممکن است عددی بر هر دو بخشپذیر باشد (مثل 12) ولی بر حاصلضرب آنها (24) بخشپذیر نباشد. شرط درست، بخشپذیری بر ک.م.م است، نه حاصلضرب.
پرسش ۲: چگونه میتوانیم کوچکترین عدد طبیعی مثبت را پیدا کنیم که همزمان بر مجموعهای از اعداد بخشپذیر باشد؟
پاسخ: کوچکترین چنین عددی، همان ک.م.م آن اعداد است. برای مثال کوچکترین عددی که بر 4 و 6 و 10 بخشپذیر باشد برابر است با $\mathrm{lcm}(4,6,10)=60$. مضارب بعدی $120,180,\dots$ نیز این ویژگی را دارند.
پرسش ۳: اگر بخواهیم عددی همزمان بر a و b بخشپذیر نباشد، چه میتوان گفت؟
پاسخ: در این صورت، عدد بر ک.م.مِ a و b نیز بخشپذیر نخواهد بود. ولی ممکن است هنوز بر یکی از آنها بخشپذیر باشد. برای مثال 20 بر 4 بخشپذیر است اما بر 6 بخشپذیر نیست؛ در نتیجه همزمان بر 4 و 6 بخشپذیر نمیباشد.
6. جمعبندی
7. پاورقی
1 عوامل اول (Prime factors): اعداد اولی که در تجزیهٔ یک عدد به صورت ضربی ظاهر میشوند. مثلاً عوامل اول 18 عبارتند از $2$ و $3$ زیرا $18 = 2 \times 3^2$.
2 قواعد بخشپذیری (Divisibility rules): روشهای سریع برای تشخیص بخشپذیر بودن یک عدد بر عددی دیگر بدون انجام تقسیم طولانی، بر اساس ارقام آن عدد.
3 نسبت به هم اول (Coprime یا Mutually prime): دو عدد طبیعی که بزرگترین مقسومعلیه مشترک (ب.م.م) آنها برابر 1 باشد. مانند 8 و 15.
4 ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عدد طبیعی که بر دو یا چند عدد دیگر بخشپذیر باشد. نماد اختصاری: $\gcd$.