شرایط پیوستگی در نقطه a: سه شرط تعریف بودن تابع در a، وجود حد در a، و برابر بودن حد با مقدار تابع در a.

شرایط پیوستگی در نقطه a: سه شرط تعریف بودن، وجود حد و برابری آنها

۱. تعریف تابع در نقطه a

اولین و ساده‌ترین شرط برای پیوستگی یک تابع در نقطه a این است که تابع در آن نقطه تعریف شده باشد. یعنی مقدار f(a) یک عدد حقیقی مشخص باشد. اگر تابع در نقطه a تعریف نشده باشد (مثلاً به دلیل صفر شدن مخرج کسری یا وجود ریشهٔ زوج از عدد منفی)، بحث پیوستگی بی‌معناست و تابع در آن نقطه ناپیوسته است.

مثال ۱: تابع $f(x)=\frac{1}{x-2}$ را در نقطه a=2 در نظر بگیرید. مخرج کسر در x=2 صفر می‌شود، بنابراین f(2) تعریف نشده است. در نتیجه شرط اول نقض شده و تابع در x=2 ناپیوسته است.

مثال ۲: تابع $g(x)=\sqrt{x-3}$ را در a=2 بررسی کنید. مقدار زیر رادیکال منفی می‌شود، بنابراین g(2) در اعداد حقیقی تعریف نشده و تابع ناپیوسته است. اما همین تابع در a=3 دارای g(3)=0 است و شرط اول برقرار می‌باشد.

۲. وجود حد تابع در نقطه a

دومین شرط این است که حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود، وجود داشته باشد. به بیان دقیق‌تر، حد چپ و حد راست تابع در نقطه a باید هر دو وجود داشته باشند و با یکدیگر برابر باشند. این حد می‌تواند یک عدد حقیقی باشد، نه بی‌نهایت.

شرط وجود حد: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ که L یک عدد حقیقی است.

مثال: تابع $h(x)=\begin{cases} x+1 & x \lt 1 \\ 3 & x=1 \\ x+1 & x \gt 1 \end{cases}$ را در نقطه a=1 بررسی کنید. حد چپ برابر $\lim_{x \to 1^-} (x+1)=2$ و حد راست نیز $\lim_{x \to 1^+} (x+1)=2$ است. بنابراین حد وجود دارد و برابر 2 است. اما تابع در x=1 مقدار 3 را دارد که با حد برابر نیست (شرط سوم را بعداً بررسی می‌کنیم).

۳. برابری حد با مقدار تابع در نقطه a

سومین و آخرین شرط، قلب مفهوم پیوستگی است: عددی که از حد به دست می‌آید باید دقیقاً برابر با مقدار تابع در آن نقطه باشد. یعنی $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. اگر این تساوی برقرار نباشد، حتی با وجود تعریف بودن تابع و وجود حد، ناپیوستگی (از نوع جهشی یا نقطه‌ای) رخ می‌دهد.

مثال کامل: تابع $p(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ را در a=2 در نظر بگیرید. ظاهراً تابع در x=2 تعریف نشده (مخرج صفر). اما اگر عبارت را ساده کنیم: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ برای x \neq 2. در این صورت حد تابع وقتی x \to 2 برابر 4 است. اما p(2) تعریف نشده، بنابراین شرط اول نقض شده و تابع ناپیوسته است. حال اگر تابع را به صورت قطعه‌ای تعریف کنیم: $q(x)=\begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & x \neq 2 \\ 4 & x=2 \end{cases}$ آنگاه q(2)=4، حد نیز 4 است، پس تابع در x=2 پیوسته خواهد بود.

جدول مقایسهٔ انواع ناپیوستگی بر اساس سه شرط

کاربرد عملی: تشخیص پیوستگی در توابع چندضابطه‌ای

در توابع چندضابطه‌ای (قطعه‌ای)، باید در نقاط مرز بین ضابطه‌ها، هر سه شرط را جداگانه بررسی کنیم. برای نمونه، تابع $k(x)=\begin{cases} x^2 & x \le 1 \\ 2x-1 & x \gt 1 \end{cases}$ را در نقطه a=1 بررسی می‌کنیم.
گام اول:k(1)=1^2=1، پس شرط اول برقرار است.
گام دوم: حد چپ: $\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$؛ حد راست: $\lim_{x \to 1^+} (2x-1)=1$. بنابراین حد وجود دارد و برابر 1 است.
گام سوم:$\lim_{x \to 1} k(x)=1 = k(1)$. پس تابع در x=1 پیوسته است.

چالش‌های مفهومی

پاورقی