بازه بسته [a,b] : مجموعه اعداد حقیقی بین a و b همراه با دو سر بازه
تعریف دقیق بازه بسته و نمادگذاری
در ریاضیات، مجموعه اعداد حقیقی که بین دو عدد داده شده a و b قرار دارند، همراه با خود a و b، یک بازه بسته نامیده میشود. شرط اساسی این است که a \le b. اگر a = b باشد، بازه بسته به یک نقطه تبدیل میشود.
نمادگذاری ریاضی این مجموعه به شکل $[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$ است. علامت قلاب [ و ] نشان میدهند که نقاط انتهایی (مرزها) جزو مجموعه هستند. به زبان ساده، هر عدد حقیقی x که از a بزرگتر یا مساوی و از b کوچکتر یا مساوی باشد، عضوی از بازه بسته [a,b] است.
برای نمایش روی محور اعداد، کل پارهخط بین a و b را پررنگ کرده و دو سر آن با نقطههای توپر (تیره) مشخص میشود تا نشان دهد نقاط a و b نیز جزو مجموعه هستند.
مقایسه بازه بسته با سایر بازهها (باز، نیمهبازه)
درک تفاوت بازه بسته با بازه باز (a,b) و بازههای نیمهبسته [a,b) یا (a,b] برای حل نامساویها و تعیین دامنه توابع1 بسیار حیاتی است. در جدول زیر ویژگیهای اصلی آنها مقایسه شده است.
| نوع بازه | نمادگذاری | شرط عضویت | نقاط a و b |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a,b]$ | $a \le x \le b$ | شامل هر دو |
| باز | $(a,b)$ | $a \lt x \lt b$ | شامل هیچکدام |
| نیمهبسته چپ | $(a,b]$ | $a \lt x \le b$ | فقط b شامل میشود |
| نیمهبسته راست | $[a,b)$ | $a \le x \lt b$ | فقط a شامل میشود |
کاربرد در دامنه توابع و نامساویهای همارز
یکی از مهمترین کاربردهای بازه بسته در دبیرستان، تعیین دامنه توابع شامل ریشه زوج و لگاریتم و نیز حل نامساویهای غیرباز است. به عنوان مثال، تابع $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ تنها زمانی در اعداد حقیقی تعریف میشود که عبارت زیر ریشه بزرگتر یا مساوی صفر باشد:
بنابراین دامنه تابع برابر با بازه بسته $[-2 , 2]$ است. اگر تابع به صورت $g(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ بود، شرط $x^2 - 9 \ge 0$ منجر به $x \le -3$ یا $x \ge 3$ میشود که به صورت اجتماع دو بازه بسته$(-\infty , -3] \cup [3 , \infty)$ نوشته میشود. در این حالت، توجه داشته باشید که $-\infty$ و $+\infty$ هرگز در بازه بسته قرار نمیگیرند (چون عدد حقیقی نیستند)، اما نماد $[$ برای $3$ و $-3$ نشاندهنده بسته بودن در آن نقاط است.
در حل نامساویهای چندجملهای، وقتی پاسخ به صورت $x \ge 5$ باشد، مجموعه پاسخ به صورت بازه نیمهبسته یا بسته نوشته میشود. برای نمونه، حل نامساوی $2x - 3 \le 7$:
که به صورت بازه $(-\infty , 5]$ نمایش داده میشود (عدد 5 جزو جواب است).
ویژگی کرانداری و قضیه مقدار میانی (بیان ساده)
یکی از ویژگیهای اساسی بازههای بسته در اعداد حقیقی این است که همیشه کراندار2 هستند. به این معنا که حداقل یک کران بالا (همان b) و یک کران پایین (همان a) دارند و هر دو کران خود عضو مجموعه هستند. این ویژگی باعث میشود در بسیاری از قضایای مهم مانند قضیه مقدار میانی برای توابع پیوسته3 از بازه بسته استفاده شود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. در تعریف استاندارد بازه بسته همیشه شرط $a \le b$ برقرار است. اگر $a \gt b$ باشد، مجموعه $\{x \mid a \le x \le b\}$ تهی خواهد بود و به آن بازه بسته گفته نمیشود.
پاسخ: نماد کروشه (قلاب) نشاندهنده بسته بودن مرز است. پرانتز $($ یا $)$ نشان میدهد که نقطه انتهایی جزو مجموعه نیست. این نمادگذاری جهانی در ریاضیات است تا در یک نگاه بتوان فهمید انتهای بازه شامل میشود یا نه.
پاسخ: بله. برای نمونه عدد 3 هم در بازه $[2,5]$ و هم در بازه $[3,7]$ قرار دارد. اشتراک دو بازه بسته خود یک بازه بسته (یا یک نقطه یا تهی) است. برای مثال $[1,4] \cap [3,6] = [3,4]$.
جمعبندی
پاورقی
1 دامنه تابع (Domain of a function): مجموعه تمام ورودیهای مجاز که تابع برای آنها تعریف شده باشد.
2 کراندار (Bounded): مجموعهای از اعداد حقیقی که هم کران بالا و هم کران پایین متناهی داشته باشد.
3 تابع پیوسته (Continuous function): تابعی که تغییرات ناگهانی یا پرش نداشته باشد و بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.