فرمول cos(α−β): رابطه cos(α−β)=cosα cosβ + sinα sinβ.

اتحاد مثلثاتی کسینوس تفاضل دو زاویه: فرمول cos(α−β)

۱. تعریف و بیان کلی فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه

در مثلثات، روابط متعددی بین توابع مثلثاتی زوایای مختلف وجود دارد. یکی از پرکاربردترین این روابط، فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه است که به صورت زیر نوشته می‌شود:

در این فرمول، $ \alpha $ و $ \beta $ دو زاویهٔ دلخواه (بر حسب درجه یا رادیان) هستند. این رابطه بیان می‌کند که کسینوس اختلاف دو زاویه، برابر است با حاصل‌ضرب کسینوس‌های آن دو زاویه به اضافهٔ حاصل‌ضرب سینوس‌های آن‌ها. درک این فرمول برای حل معادلات مثلثاتی، اثبات اتحادهای دیگر و محاسبات فیزیک و مهندسی ضروری است.

برای نمونه، فرض کنید زاویهٔ $ \alpha = 60^\circ $ و $ \beta = 30^\circ $ باشد. طبق فرمول داریم:

$ \cos(60^\circ - 30^\circ) = \cos 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \sin 30^\circ = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ که همان $ \cos 30^\circ $ است. نتیجهٔ مستقیم محاسبه نیز $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ می‌باشد و صحت فرمول تأیید می‌شود.

۲. اثبات هندسی با استفاده از دایرهٔ مثلثاتی

یکی از شهودی‌ترین روش‌ها برای اثبات این فرمول، استفاده از دایرهٔ واحد (دایرهٔ مثلثاتی) و محاسبهٔ فاصلهٔ دو نقطه روی محیط آن است. دایرهٔ مثلثاتی به مرکز مبدأ مختصات و به شعاع $1$ در نظر گرفته می‌شود.

نقطهٔ $P$ متناظر با زاویهٔ $ \alpha $ دارای مختصات $ (\cos\alpha , \sin\alpha) $ و نقطهٔ $Q$ متناظر با زاویهٔ $ \beta $ دارای مختصات $ (\cos\beta , \sin\beta) $ است. حال فاصلهٔ این دو نقطه را به دو روش محاسبه می‌کنیم:

روش اول (استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث $POQ$): زاویهٔ مرکزی بین دو شعاع $OP$ و $OQ$ برابر $ |\alpha - \beta| $ است. از آنجا که $OP = OQ = 1$، طبق قانون کسینوس‌ها داریم:

روش دوم (استفاده از فرمول فاصلهٔ دو نقطه در مختصات دکارتی):

$ PQ^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 $

با بسط این عبارت:

$ = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta $

با توجه به اتحاد $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ خواهیم داشت:

$ = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 1 + 1 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $

حال با مساوی قرار دادن دو عبارت به دست آمده برای $PQ^2$:

$ 2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $

پس از ساده‌سازی (حذف $2$ و تقسیم بر $-2$)، رابطهٔ اصلی اثبات می‌شود.

۳. اثبات تحلیلی با استفاده از ماتریس چرخش یا ضرب مختلط‌ها

در سطح دبیرستان، اثبات دیگری نیز با استفاده از اعداد مختلط¹ امکان‌پذیر است. می‌دانیم که عدد مختلط $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $. حال دو عدد مختلط $ e^{i\alpha} $ و $ e^{i\beta} $ را در نظر بگیرید. خارج قسمت آن‌ها برابر است با:

$ \frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = e^{i(\alpha - \beta)} = \cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta) $

از طرفی، با تقسیم مستقیم و استفاده از مزدوج مختلط² مخرج:

$ \frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = \frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta} \times \frac{\cos\beta - i\sin\beta}{\cos\beta - i\sin\beta} = \frac{(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta - i\sin\beta)}{\cos^2\beta + \sin^2\beta} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta - i\sin\beta) $

با بسط و جمع جملات حقیقی و موهومی:

$ = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $

با مقایسهٔ قسمت حقیقی با عبارت $ \cos(\alpha - \beta) $، دوباره به همان رابطه می‌رسیم. این روش نشان‌دهندهٔ ارتباط عمیق بین مثلثات و اعداد مختلط است.

۴. جدول مقادیر ویژه برای زاویه‌های معروف

۵. کاربرد عملی در فیزیک و مهندسی

فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه در محاسبهٔ اختلاف فاز³ بین دو موج، بردارها و جریان‌های متناوب کاربرد فراوان دارد.

برای مثال، در فیزیک، هنگامی که دو موج با دامنهٔ یکسان و اختلاف فاز $ \delta $ برهم نهی می‌کنند، دامنهٔ موج برآیند به کمک رابطه‌ای شامل $ \cos\delta $ محاسبه می‌شود. اگر بخواهیم فاز حاصل را برحسب فازهای اولیه بیان کنیم، مستقیماً با فرمول $ \cos(\phi_1 - \phi_2) $ روبرو می‌شویم.

مثال عددی: فرض کنید دو بردار نیروی $F_1$ و $F_2$ به ترتیب زاویهٔ $ \alpha = 50^\circ $ و $ \beta = 20^\circ $ با محور افقی ساخته‌اند. برای محاسبهٔ مؤلفهٔ افقی برآیند، از مجموع مؤلفه‌های x استفاده می‌شود. اما اگر بخواهیم زاویهٔ بین دو بردار را بدانیم، مستقیماً از $ \cos(50^\circ - 20^\circ) = \cos 30^\circ $ استفاده می‌کنیم.

همچنین در مهندسی برق، برای ولتاژ و جریان متناوب با تغییر فاز $ \varphi $، توان متوسط از رابطهٔ $ P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\varphi $ به دست می‌آید. اگر اختلاف فاز بین دو کمیت را برحسب توابع زمانی آن‌ها بنویسیم، دوباره به فرمول $ \cos(\theta_1 - \theta_2) $ نیاز پیدا می‌کنیم.

۶. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

۷. جمع‌بندی

پاورقی