کمترین مقدار تابع کسینوس: چرا عدد −1 حاشیهنشین دایره مثلثاتی است
۱. معنای کمترین مقدار در تابع کسینوس: نگاهی به دایره واحد
در مثلثات، تابع کسینوس به صورت $y = \cos x$ تعریف میشود که در آن $x$ زاویه (بر حسب رادیان یا درجه) و $y$ طول تصویر نقطهٔ روی دایره واحد بر روی محور افقی است. دایره واحد1 دایرهای به شعاع $1$ و مرکز در مبدأ مختصات است. هر نقطه روی این دایره مختصات $(\cos\theta , \sin\theta)$ دارد.
کمترین مقدار یک تابع، کوچکترین خروجی ممکن آن در کل دامنهٔ تعریف است. برای تابع کسینوس، دامنه تمام اعداد حقیقی است. از آنجا که مقدار کسینوس طول نقطه روی دایره واحد است و طول بین $-1$ و $+1$ تغییر میکند، واضح است که کوچکترین مقدار ممکن $-1$ است. اما چه زمانی به این مقدار میرسیم؟ هنگامی که نقطه در سمت چپترین نقطه دایره قرار گیرد، یعنی زاویه $\pi$ رادیان ($180^\circ$). در این حالت مختصات نقطه $(-1,0)$ است و بنابراین $\cos\pi = -1$.
۲. جدول مقادیر ویژه و ردگیری کاهش به سمت −۱
برای درک بهتر، جدول زیر مقادیر کسینوس را برای زوایای مهم ربع اول تا رسیدن به $\pi$ نشان میدهد:
| زاویه (رادیان) | زاویه (درجه) | مقدار cos x |
|---|---|---|
| $0$ | $0^\circ$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $30^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ |
| $\frac{\pi}{3}$ | $60^\circ$ | $\frac{1}{2} = 0.5$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $90^\circ$ | $0$ |
| $\frac{2\pi}{3}$ | $120^\circ$ | $-\frac{1}{2} = -0.5$ |
| $\frac{5\pi}{6}$ | $150^\circ$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ |
| $\pi$ | $180^\circ$ | -1 |
همانطور که مشاهده میشود، با افزایش زاویه از صفر به سمت $\pi$، مقدار کسینوس به تدریج کاهش مییابد تا به $-1$ میرسد. پس از آن در زوایای بزرگتر از $\pi$ تا $2\pi$، مقدار کسینوس دوباره افزایش یافته و به $+1$ بازمیگردد.
۳. کاربرد عملی: تعیین بیشینه و کمینه در مسئلههای فیزیک دبیرستان
در بسیاری از مسائل فیزیک دبیرستان، مانند حرکت نوسانی ساده3، معادلهٔ مکان بر حسب زمان به صورت $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ نوشته میشود. در اینجا $A$ دامنهٔ نوسان است. از آنجا که کمترین مقدار کسینوس $-1$ است، کمترین ممانعت جسم از مرکز تعادل برابر $-A$ خواهد بود. به همین ترتیب، بیشترین مقدار برابر $+A$ است.
مثال عددی: فرض کنید فنری با دامنه $0.2$ متر در حال نوسان است و معادلهٔ آن به صورت $x(t) = 0.2 \cos(5t)$ باشد. کمترین مکان (بیشترین فشردگی در جهت منفی) برابر است با:
همچنین در مهندسی برق، ولتاژ متناوب به صورت $V(t) = V_m \cos(\omega t)$ نوشته میشود. دانستن اینکه کمینهٔ کسینوس $-1$ است به مهندس کمک میکند که بیشینهٔ ولتاژ منفی را برابر $-V_m$ پیشبینی کند.
۴. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پرسش ۱: آیا تابع کسینوس میتواند مقداری کمتر از −1 بگیرد؟
خیر. دلیل آن است که در دایره واحد، طول هر نقطه بر روی محور افقی همواره بین $-1$ و $1$ قرار دارد. از نظر جبری نیز میدانیم $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. از آنجا که $\sin^2 x \ge 0$، نتیجه میشود $\cos^2 x \le 1$ و بنابراین $-1 \le \cos x \le 1$. پس $-1$ حد پایینی است که دستیافتنی نیز میباشد.
پرسش ۲: چرا در زاویهٔ ۹۰ درجه کسینوس صفر میشود، اما کمینه در ۱۸۰ درجه رخ میدهد؟
در زاویهٔ $\frac{\pi}{2}$ (۹۰ درجه) نقطه روی دایره واحد در $(0,1)$ قرار دارد، بنابراین طول افقی آن صفر است. اما با ادامه افزایش زاویه به سمت $\pi$، نقطه به سمت چپ حرکت میکند و طول افقی منفی شده و به مقدار $-1$ میرسد. در واقع کسینوس در بازهٔ $[0,\pi]$ یک تابع اکیداً نزولی است و کمینه در انتهای بازه یعنی $\pi$ اتفاق میافتد.
پرسش ۳: تفاوت بین کمترین مقدار و کران پایین چیست؟ آیا تابع کسینوس کران پایین دارد؟
کران پایین4 عددی است که هیچ مقدار تابع از آن کوچکتر نباشد. کران پایین میتواند عددی مانند $-2$ نیز باشد، اما کمترین مقدار (مینیمم) عددی است که تابع به آن میرسد. برای تابع کسینوس، $-1$ هم کران پایین و هم کمترین مقدار است زیرا تابع دقیقاً به $-1$ میرسد (مثلاً در $x=\pi$). بنابراین کران پایینی که دستیافتنی باشد، همان کمترین مقدار خواهد بود.
پاورقی
1 دایره واحد (Unit Circle): دایرهای به شعاع یک و مرکز در مبدأ مختصات که برای تعریف نسبتهای مثلثاتی به کار میرود.
2 تناوب (Periodicity): ویژگی تابعی که مقادیر خود را در فواصل منظم تکرار میکند. تناوب اصلی کسینوس $2\pi$ رادیان است.
3 حرکت نوسانی ساده (Simple Harmonic Motion): حرکت برگشتی یک جسم حول یک نقطه تعادل که نیروی بازگرداننده با جابهجایی متناسب است و با توابع سینوس یا کسینوس مدل میشود.
4 کران پایین (Lower Bound): عددی مانند $m$ که برای همهٔ مقادیر تابع $f(x) \ge m$ برقرار باشد. اگر تابع به کران پایین برسد، آن کران را «کمینه» مینامند.