علامت نسبتهای مثلثاتی: سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت در چهار ربع دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی و تعریف نسبتهای اصلی
دایره مثلثاتی دایرهای به شعاع واحد ($r = 1$) و مرکز در مبدأ مختصات است. زاویه $\theta$ از محور $x$ مثبت (سمت راست) در خلاف جهت عقربههای ساعت اندازهگیری میشود. اگر نقطهای روی دایره با مختصات $(x,y)$ داشته باشیم، تعریف نسبتها به صورت زیر است:
بنابراین علامت هر نسبت مثلثاتی مستقیماً از علامت مختصات $x$ و $y$ در هر ربع تبعیت میکند. برای یادآوری: ربع اول (زاویه $0$ تا $90^\circ$)، ربع دوم ($90^\circ$ تا $180^\circ$)، ربع سوم ($180^\circ$ تا $270^\circ$) و ربع چهارم ($270^\circ$ تا $360^\circ$).
علامت سینوس (sin) در هر ربع
سینوس برابر با $y$ است؛ بنابراین وقتی $y \gt 0$ (نیمه بالایی صفحه) سینوس مثبت و وقتی $y \lt 0$ (نیمه پایینی) سینوس منفی است. در ربعهای اول و دوم (نقاط بالای محور xها) سینوس مثبت و در ربعهای سوم و چهارم (پایین محور xها) سینوس منفی است. برای زاویههای مرزی مانند $0^\circ$ یا $180^\circ$، سینوس صفر میشود (نه مثبت و نه منفی).
علامت کسینوس (cos) در هر ربع
کسینوس برابر با $x$ است. نیمه راست صفحه (ربع اول و چهارم) دارای $x \gt 0$، پس کسینوس مثبت است. نیمه چپ صفحه (ربع دوم و سوم) دارای $x \lt 0$، پس کسینوس منفی است. روی محور y (زاویه $90^\circ$ و $270^\circ$) کسینوس صفر است.
علامت تانژانت (tan) و کتانژانت (cot)
$\tan \theta = \frac{y}{x}$. علامت آن از تقسیم علامت y بر x به دست میآید: اگر y و x هم علامت باشند، تانژانت مثبت (ربع اول: هر دو مثبت، ربع سوم: هر دو منفی). اگر y و x مختلفالعلامت باشند، تانژانت منفی (ربع دوم: y مثبت، x منفی؛ ربع چهارم: y منفی، x مثبت). برای کتانژانت ($\cot \theta = \frac{x}{y}$) علامت دقیقاً مشابه تانژانت است، زیرا تقسیم x بر y نیز در همان ربعها مثبت یا منفی میشود. تانژانت و کتانژانت در زوایایی که مخرج صفر شود (مثلاً $90^\circ$ برای تانژانت) تعریف نشدهاند (مجانب قائم).
| ربع | محدوده زاویه (درجه) | سینوس (sin) | کسینوس (cos) | تانژانت (tan) و کتانژانت (cot) |
|---|---|---|---|---|
| ربع اول | $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ | مثبت | مثبت | مثبت |
| ربع دوم | $90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$ | مثبت | منفی | منفی |
| ربع سوم | $180^\circ \lt \theta \lt 270^\circ$ | منفی | منفی | مثبت |
| ربع چهارم | $270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ$ | منفی | مثبت | منفی |
جمله کلیدی برای حفظ کردن: «همه سینوس تانژانت کسینوس» — حروف اول نشان میدهد در ربع اول همه مثبت، ربع دوم فقط سینوس، ربع سوم فقط تانژانت (و کتانژانت)، ربع چهارم فقط کسینوس مثبت است.
مثالهای عددی عملی برای تشخیص علامت
مثال 1: زاویه $\theta = 120^\circ$ (ربع دوم). در این ربع سینوس مثبت، کسینوس منفی، تانژانت منفی. با ماشینحساب: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx +0.866$، $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} = -0.5$، $\tan 120^\circ = -\sqrt{3} \approx -1.732$.
مثال 2: زاویه $\theta = 225^\circ$ (ربع سوم). هر دو x و y منفی: پس سینوس و کسینوس منفی، ولی تانژانت مثبت. $\sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\tan 225^\circ = 1$.
مثال 3 (کاربرد در فیزیک): اگر بردار نیرویی با اندازه $F = 10$ نیوتن و زاویه $300^\circ$ نسبت به محور x مثبت داشته باشیم، مؤلفه افقی $F_x = F \cos 300^\circ$ است. ربع چهارم: کسینوس مثبت، بنابراین $F_x$ مثبت و به راست است. $\cos 300^\circ = \frac{1}{2}$ پس $F_x = 5$ نیوتن.
چالشهای مفهومی در علامت نسبتهای مثلثاتی
پاسخ: بله، این حالت فقط در ربع اول رخ میدهد، زیرا در آنجا هم $x \gt 0$ و هم $y \gt 0$. در نتیجه هر دو نسبت سینوس و کسینوس مثبت هستند.
پاسخ: بله، زیرا تانژانت فقط در ربع دوم (y مثبت، x منفی) و ربع چهارم (y منفی، x مثبت) منفی میشود. البته استثنا: زاویهای که دقیقاً روی محورها باشد (مثل $0^\circ$ یا $180^\circ$) تانژانت صفر است (نه مثبت و نه منفی).
پاسخ: زیرا $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ (به جز جاهایی که تانژانت صفر یا تعریف نشده است). علامت یک بر عدد حقیقی (غیرصفر) همان علامت خود عدد است. بنابراین علامت کتانژانت همواره با علامت تانژانت یکی است.
روش سریع برای تعیین علامت بدون حفظ جدول
یک روش ساده: محور افقی (x) را محور کسینوس و محور عمودی (y) را محور سینوس در نظر بگیرید. هرگاه زاویه در نیمه بالایی باشد ($0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$) سینوس مثبت، در نیمه پایینی منفی. هرگاه زاویه در نیمه راست باشد ($0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ یا $270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ$) کسینوس مثبت، در نیمه چپ منفی. تانژانت از تقسیم این دو: اگر علامت sin و cos یکسان باشد (ربع I یا III)، حاصل تقسیم مثبت؛ اگر متفاوت باشد (ربع II یا IV)، منفی. این روش به شما امکان میدهد بدون به خاطر سپردن جدول، علامت هر زاویهای را پیدا کنید.
پاورقی
1 نسبت مثلثاتی (Trigonometric Ratio): نسبت بین اضلاع یک مثلث قائمالزاویه بر اساس زاویه حاده که به توابع سینوس، کسینوس، تانژانت و ... معروف است.
2 دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع واحد که برای تعریف توابع مثلثاتی برای همه زوایای حقیقی به کار میرود.
3 قانون ALL STATIONS TO CENTRAL (همه سینوس تانژانت کسینوس): رمز یادآوری ترتیب ربعهایی که هر تابع مثلثاتی در آنها مثبت است.