نسبتهای مثلثاتی در زوایای همانتها: برابری سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت
تعریف زاویهٔ همانتها و ارتباط آن با دایرهٔ مثلثاتی
در مثلثات، زاویهها را اغلب روی دایرهٔ واحد (دایرهای به شعاع 1) در نظر میگیریم. وقتی یک زاویهٔ $ \theta $ را از سمت مثبت محور $ x $ (افق) در خلاف جهت حرکت عقربههای ساعت رسم کنیم، به نقطهای روی محیط دایره میرسیم. حال اگر یک یا چند چرخش کامل (هر چرخش کامل 360°) به زاویهٔ اولیه اضافه یا از آن کم کنیم، به همان نقطهٔ انتهایی روی دایره میرسیم. به این زاویههای جدید، زاویههای همانتها گفته میشود.
مثال: زاویهٔ $ 30° $ را در نظر بگیرید. اگر یک دور کامل بچرخیم، به زاویهٔ $ 30° + 360° = 390° $ میرسیم که نقطهٔ انتهایی آن با نقطهٔ انتهایی زاویهٔ $ 30° $ یکی است. همچنین $ 30° - 360° = -330° $ نیز با $ 30° $ همانتهاست. در حالت کلی، مجموعهٔ تمام زوایای همانتها با زاویهٔ $ \theta $ به صورت زیر نوشته میشود:
$ \theta + 360° \times k \quad , \quad k \in \mathbb{Z} $و اگر از واحد رادیان استفاده کنیم:
$ \theta + 2k\pi \quad , \quad k \in \mathbb{Z} $در این فرمول، $ k $ میتواند هر عدد صحیح (مثبت، صفر یا منفی) باشد. علامت مثبت به معنای چرخش در خلاف جهت عقربههای ساعت و علامت منفی به معنای چرخش در جهت عقربههای ساعت است.
<!-- جدول مقایسه: درجه و رادیان برای زوایای همانتها -->| زاویهٔ مبنا (درجه) | زاویهٔ مبنا (رادیان) | چند نمونه زاویهٔ همانتها (با $ k = 1 , -1 $) |
|---|---|---|
| 30° | $ \frac{\pi}{6} $ | 390° , -330° |
| 45° | $ \frac{\pi}{4} $ | 405° , -315° |
| 60° | $ \frac{\pi}{3} $ | 420° , -300° |
| 90° | $ \frac{\pi}{2} $ | 450° , -270° |
برابری سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت برای زوایای همانتها
دلیل اصلی برابری نسبتهای مثلثاتی برای زوایای همانتها این است که نقطهٔ انتهایی ضلع نهایی همهٔ این زاویهها روی دایرهٔ مثلثاتی یکسان است. از آنجا که نسبتهای سینوس1 و کسینوس2 بر اساس مختصات $ x $ و $ y $ این نقطه تعریف میشوند، تغییر در تعداد دورهای کامل چرخش تأثیری روی این مختصات ندارد. به طور مشابه، تانژانت3 و کتانژانت4 نیز که حاصل تقسیم این دو مقدار هستند، تغییر نمیکنند.
برای هر عدد صحیح $ k $ داریم:
$ \sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta) $
$ \cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta) $
$ \tan(\theta + 2k\pi) = \tan(\theta) $ به شرط آنکه $ \cos(\theta) \neq 0 $
$ \cot(\theta + 2k\pi) = \cot(\theta) $ به شرط آنکه $ \sin(\theta) \neq 0 $
به عبارت دیگر، توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس دارای دورهٔ تناوب$ 2\pi $ هستند (یعنی پس از $ 2\pi $ رادیان یا 360° مقدار خود را تکرار میکنند) و توابع تانژانت و کتانژانت دارای دورهٔ تناوب $ \pi $ هستند. اما دقت کنید که فرمول بالا برای تانژانت و کتانژانت نیز با $ 2k\pi $ صادق است. یعنی اگر $ 2k\pi $ به زاویه اضافه کنیم، تانژانت و کتانژانت نیز بدون تغییر میمانند.
<!-- H3 سوم: مثال عینی و کاربرد عملی -->کاربرد در محاسبهٔ نسبتهای مثلثاتی زوایای بزرگ
یکی از مهمترین کاربردهای زوایای همانتها، ساده کردن محاسبات مربوط به زوایای بسیار بزرگ (بیش از 360°) یا زوایای منفی است. به جای محاسبهٔ مستقیم سینوس زاویهٔ 750°، میتوانیم مضربی از 360° را از آن کم کنیم تا به زاویهای بین 0° و 360° برسیم که همانتها با آن است. در این صورت از جدول مقادیر مثلثاتی زوایای شناخته شده استفاده میکنیم.
مثال ۱: مقدار $ \sin 750° $ را بیابید.
راهحل: ابتدا $ 750° $ را بر 360° تقسیم میکنیم: $ 750 \div 360 = 2 $ با باقیماندهٔ $ 750 - 720 = 30 $. بنابراین $ 750° = 30° + 2 \times 360° $. پس زاویهٔ $ 750° $ با زاویهٔ $ 30° $ همانتهاست. بنابراین:
$ \sin 750° = \sin 30° = \frac{1}{2} $مثال ۲: مقدار $ \cos(-315°) $ را محاسبه کنید.
راهحل: زاویهٔ منفی $ -315° $ را با اضافه کردن یک دور کامل به زاویهٔ مثبت تبدیل میکنیم: $ -315° + 360° = 45° $. بنابراین:
$ \cos(-315°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $مثال ۳ (کاربرد در فیزیک): در حرکت نوسانی یک فنر، جابجایی تابعی به صورت $ x(t) = 5\sin(2\pi t) $ است. اگر $ t = 2.25 $ ثانیه باشد، ابتدا زاویهٔ داخل سینوس را محاسبه کرده و با استفاده از همانتهایی، مقدار جابجایی را بیابید.
راهحل: زاویه برابر است با $ 2\pi \times 2.25 = 4.5\pi = 4\pi + 0.5\pi $. از آنجا که $ 4\pi = 2 \times 2\pi $ است، این زاویه با $ 0.5\pi $ همانتهاست. پس $ \sin(4.5\pi) = \sin(0.5\pi) = 1 $. بنابراین جابجایی $ x = 5 \times 1 = 5 $ واحد است.
<!-- H3 چهارم: چالشهای مفهومی -->چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
۱. آیا هر دو زاویهٔ $ \alpha $ و $ \beta $ که سینوسهای مساوی دارند، حتماً همانتها هستند؟
خیر. برای مثال $ \sin 30° = \sin 150° $ اما $ 150° $ با $ 30° $ همانتها نیست ($ 150° = 30° + 120° $ و $ 120° $ مضرب صحیحی از $ 360° $ نیست). تساوی سینوس دو زاویه شرط لازم برای همانتهایی نیست. شرط لازم و کافی برای همانتهایی دو زاویه این است که تفاضل آنها مضرب صحیحی از $ 360° $ باشد.
۲. چه تفاوتی بین همانتهایی در توابع سینوس/کسینوس و تانژانت/کتانژانت وجود دارد؟
همانطور که میدانیم، تابع تانژانت دارای دورهٔ تناوب $ \pi $ است. یعنی اگر به یک زاویه، صرفاً $ 180° $ اضافه کنیم، تانژانت آن تغییر نمیکند در حالی که سینوس و کسینوس تغییر علامت میدهند. اما در فرمول همانتهایی که با مضرب $ 2k\pi $ نوشته میشود، هر چهار تابع بدون تغییر میمانند. پس همانتهایی (تغییر به اندازهٔ چرخش کامل) نسبت به تناوب ساده (تغییر به اندازهٔ نصف چرخش برای تانژانت) مفهوم گستردهتری است.
۳. آیا زاویهٔ $ 0° $ و $ 360° $ همانتها هستند؟ پاسخ را برای تابع کتانژانت بررسی کنید.
بله، $ 360° = 0° + 1 \times 360° $، پس همانتها هستند. اما تابع کتانژانت در $ 0° $ تعریف نشده است زیرا $ \sin 0° = 0 $. بنابراین نمیتوان گفت $ \cot 360° = \cot 0° $، هرچند هر دو نامعین هستند. در چنین مواردی، همانتهایی فقط برای زوایایی معنا دارد که تابع در آن نقطه تعریف شده باشد.
پاورقی
1 سینوس (Sine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مقابل به زاویهٔ حاده به وتر. در دایرهٔ مثلثاتی، معادل مختص $ y $ نقطه روی دایره.
2 کسینوس (Cosine): نسبت طول ضلع مجاور به وتر در مثلث قائمالزاویه. در دایرهٔ مثلثاتی، معادل مختص $ x $ نقطه روی دایره.
3 تانژانت (Tangent): نسبت سینوس به کسینوس، یا در مثلث قائمالزاویه نسبت ضلع مقابل به مجاور.
4 کتانژانت (Cotangent): معکوس تانژانت، یعنی نسبت کسینوس به سینوس، به شرطی که سینوس غیرصفر باشد.