قرینه نسبت به مبدأ مختصات: تبدیل نقطه (x,y) به (−x,−y)
۱. مفهوم قرینه نسبت به مبدأ در دستگاه دکارتی
در دستگاه مختصات دکارتی، مبدأ مختصات نقطهای با مختصات (0,0) است. قرینهٔ یک نقطه نسبت به مبدأ، نقطهای است که اگر خطی از نقطه به مبدأ رسم کنیم و به همان اندازه در جهت مخالف ادامه دهیم، به آن میرسیم. از نظر جبری، اگر نقطهٔ P(x,y) داشته باشیم، قرینهٔ آن نسبت به مبدأ، نقطهٔ P'( -x , -y ) خواهد بود. این عمل با نام تقارن مرکزی1 یا بازتاب نقطه نسبت به مبدأ شناخته میشود.
برای نمونه، نقطهٔ A(3,4) را در نظر بگیرید. قرینهٔ آن نسبت به مبدأ برابر است با A'(-3,-4). به همین ترتیب، نقطهٔ B(-2,5) به B'(2,-5) تبدیل میشود.
| نقطهٔ اصلی (x,y) | قرینه نسبت به مبدأ (−x,−y) |
|---|---|
| (3,4) | (-3,-4) |
| (-2,5) | (2,-5) |
| (0,7) | (0,-7) |
یک مثال عملی: فرض کنید یک بازی کامپیوتری دارید که در آن شخصیت اصلی در نقطهٔ (x,y) قرار دارد. اگر بازتاب نسبت به مرکز صفحه (مبدأ) اعمال شود، شخصیت به نقطهٔ (-x,-y) منتقل میشود. این مفهوم در طراحی الگوهای متقارن بسیار کاربرد دارد.
۲. ارتباط قرینه با زاویه در مختصات قطبی
دستگاه مختصات قطبی2 نقطهها را با فاصله از مبدأ (r) و زاویهٔ نسبت به محور x مثبت (α) نمایش میدهد: $P(r, \alpha)$. تبدیل مختصات قطبی به دکارتی به صورت زیر است:
حال اگر قرینهٔ نقطهٔ (x,y) را نسبت به مبدأ بگیریم، مختصات جدید برابر (-x,-y) میشود. این مختصات را در دستگاه قطبی بازنویسی میکنیم:
چون $\cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha$ و $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. بنابراین نقطهٔ قرینه در مختصات قطبی به صورت $(r, \alpha+\pi)$ نمایش داده میشود (اگر $r \ge 0$ در نظر گرفته شود). به عبارت دیگر، قرینهسازی نسبت به مبدأ معادل با افزودن $\pi$ رادیان (۱۸۰ درجه) به زاویهٔ نقطه است.
۳. کاربرد عملی در روابط مثلثاتی
این تبدیل در اثبات روابط مثلثاتی بسیار مفید است. برای نمونه، اگر زاویهٔ α در ربع اول باشد، زاویهٔ α+π در ربع سوم قرار میگیرد و نسبت سینوس و کسینوس آنها فقط در علامت متفاوت است. با استفاده از قرینه نسبت به مبدأ میتوان به سادگی رابطهٔ زیر را درک کرد:
همچنین در حل معادلات مثلثاتی، اگر $\sin \theta = a$ داشته باشیم و یک جواب θ = α باشد، جواب دیگر θ = α + π نیز به دست میآید که حاصل قرینهسازی نسبت به مبدأ در دایرهٔ مثلثاتی است.
مثال عددی: فرض کنید α = 30° باشد. نقطه روی دایرهٔ مثلثاتی برابر $(\cos 30°, \sin 30°) = ( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )$. قرینهٔ این نقطه نسبت به مبدأ برابر $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ است که دقیقاً مختصات زاویهٔ 30°+180° = 210° میباشد.
۴. جدول مقایسهٔ زاویه α و α+π در چهار ربع
| ربع زاویهٔ α | ربع زاویهٔ α+π | تغییر علامت (x,y) |
|---|---|---|
| ربع اول (0 \lt \alpha \lt 90°) | ربع سوم (180° \lt \alpha+π \lt 270°) | هر دو منفی میشوند |
| ربع دوم (90° \lt \alpha \lt 180°) | ربع چهارم (270° \lt \alpha+π \lt 360°) | x منفی، y مثبت → x مثبت، y منفی |
| ربع سوم (180° \lt \alpha \lt 270°) | ربع اول (0° \lt \alpha+π \lt 90°) | هر دو مثبت میشوند |
۵. مثال عینی در نقشهبرداری و گرافیک رایانهای
فرض کنید یک نقشهٔ دو بعدی طراحی کردهاید که در آن مبدأ مختصات در مرکز شهر قرار دارد. نقطهٔ P(4,3) موقعیت یک پارک را نشان میدهد (۴ کیلومتر شرق، ۳ کیلومتر شمال). قرینهٔ این نقطه نسبت به مبدأ یعنی (-4,-3) موقعیت یک دریاچه را نشان میدهد (۴ کیلومتر غرب، ۳ کیلومتر جنوب). اگر مسیر حرکت از پارک به دریاچه را به صورت بردار در نظر بگیریم، جهت این بردار دقیقاً مخالف بردار از مبدأ به پارک است و زاویهٔ آن α+π خواهد بود، جایی که α زاویهٔ اولیه است.
در گرافیک رایانهای، هنگام آینهکاری نسبت به مرکز صفحه (مانند افکت چرخش ۱۸۰ درجه)، هر پیکسل با مختصات (x,y) به (W-x, H-y) منتقل نمیشود، بلکه اگر مبدأ در مرکز فرض شود، تبدیل به (-x,-y) انجام میگیرد که همان چرخش ۱۸۰ درجه است.
۶. چالشهای مفهومی
پاسخ: بله، دقیقاً. چرخش ۱۸۰ درجه نقطه حول مبدأ، هر نقطه را به موقعیتی میبرد که مختصات آن قرینه میشود. در ریاضی، ماتریس چرخش ۱۸۰ درجه $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ است که $(x,y)$ را به $(-x,-y)$ تبدیل میکند.
پاسخ: نقطه روی محور xها مانند A(5,0) به (-5,0) تبدیل میشود. زاویهٔ A برابر ۰ درجه و زاویهٔ قرینه برابر ۱۸۰ درجه است که همان 0+π رادیان میباشد. نقطه روی محور xها همچنان روی محور xها میماند ولی به سمت دیگر مبدأ میرود.
پاسخ: در مختصات قطبی، شعاع r میتواند منفی در نظر گرفته شود. نقطهٔ $(-r, \alpha)$ به این معنی است که در جهت مخالف زاویهٔ α به اندازه r حرکت میکنیم که معادل $(r, \alpha+\pi)$ است. هر دو نمایش یک نقطه را نشان میدهند و انتخاب بین آنها قراردادی است.
جمعبندی
پاورقی
1 تقارن مرکزی (Central Symmetry): تبدیلی در صفحه که هر نقطه را نسبت به یک نقطهٔ ثابت (مرکز تقارن) به گونهای بازتاب میدهد که مرکز، وسط پارهخط وصلکنندهٔ نقطه و تصویر آن باشد.2 مختصات قطبی (Polar Coordinates): سامانهٔ مختصاتی دو بعدی که در آن هر نقطه روی صفحه با فاصله از یک نقطهٔ ثابت (قطب یا مبدأ) و زاویه نسبت به یک جهت ثابت (محور قطبی) مشخص میشود.
3 دایرهٔ مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع واحد که مرکز آن در مبدأ مختصات است و برای تعریف نسبتهای مثلثاتی بر اساس مختصات نقاط روی آن به کار میرود.