ربع دایره مثلثاتی: دروازه ورود به توابع سینوس، کسینوس و مماس
تقسیم بندی دایره مثلثاتی به چهار ناحیه
دایره مثلثاتی دایرهای به شعاع واحد ($r=1$) به مرکز مبدأ مختصات است. محور $x$ (افق) و محور $y$ (عمود) این دایره را به چهار ناحیه مساوی تقسیم میکنند. به هر یک از این نواحی یک «ربع» میگویند. شمارهگذاری ربعها در خلاف جهت حرکت عقربههای ساعت انجام میشود:
- ربع اول: زوایای بین $0^\circ$ تا $90^\circ$ (یا $0$ تا $\frac{\pi}{2}$ رادیان)
- ربع دوم: زوایای بین $90^\circ$ تا $180^\circ$ (یا $\frac{\pi}{2}$ تا $\pi$)
- ربع سوم: زوایای بین $180^\circ$ تا $270^\circ$ (یا $\pi$ تا $\frac{3\pi}{2}$)
- ربع چهارم: زوایای بین $270^\circ$ تا $360^\circ$ (یا $\frac{3\pi}{2}$ تا $2\pi$)
| نام ربع | بازه برحسب درجه | بازه برحسب رادیان |
|---|---|---|
| ربع اول | $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ | $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$ |
| ربع دوم | $90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$ | $\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ |
| ربع سوم | $180^\circ \lt \theta \lt 270^\circ$ | $\pi \lt \theta \lt \frac{3\pi}{2}$ |
| ربع چهارم | $270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ$ | $\frac{3\pi}{2} \lt \theta \lt 2\pi$ |
علامت توابع مثلثاتی در هر ربع
در دایره مثلثاتی، مختصات نقطهٔ روی دایره برای زاویهٔ $\theta$ برابر است با $(\cos\theta , \sin\theta)$. بنابراین علامت سینوس و کسینوس دقیقاً مطابق علامت $y$ و $x$ در آن ربع است. مماس نیز از تقسیم سینوس بر کسینوس به دست میآید: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. جدول زیر علامت هر تابع را در چهار ربع نشان میدهد:
| تابع | ربع اول | ربع دوم | ربع سوم | ربع چهارم |
|---|---|---|---|---|
| سینوس (sin) | مثبت | مثبت | منفی | منفی |
| کسینوس (cos) | مثبت | منفی | منفی | مثبت |
| مماس (tan) | مثبت | منفی | مثبت | منفی |
برای به خاطر سپاری بهتر از عبارت «تمام سیب زمینیها ترش هستند» استفاده میشود: حروف اول «تمام» (ربع اول: همه توابع مثبت)، «سیب» (Sin مثبت در ربع دوم)، «زمینی» (Tan مثبت در ربع سوم) و «ترش» (Cos مثبت در ربع چهارم).
زاویه مرجع و محاسبه مقادیر مثلثاتی در هر ربع
زاویه مرجع برای یک زاویهٔ دلخواه $\theta$، زاویهٔ حاده ($0^\circ$ تا $90^\circ$) بین ضلع انتهایی $\theta$ و محور $x$ است. با استفاده از زاویه مرجع و علامت تابع در ربع مربوطه، میتوان مقدار تابع مثلثاتی را به دست آورد.
- ربع اول: زاویه مرجع برابر خود زاویه است: $\theta_r = \theta$
- ربع دوم:$\theta_r = 180^\circ - \theta$ یا $\pi - \theta$
- ربع سوم:$\theta_r = \theta - 180^\circ$ یا $\theta - \pi$
- ربع چهارم:$\theta_r = 360^\circ - \theta$ یا $2\pi - \theta$
کاربرد عملی: ناوبری و امواج
در ناوبری دریایی و هوایی، زاویهٔ سمت (bearing) از شمال یا جنوب اندازهگیری میشود و برای محاسبه جابجایی در جهت شرق-غرب و شمال-جنوب، از توابع مثلثاتی و دانستن ربع زاویه استفاده میکنند. برای نمونه، اگر یک کشتی با زاویهٔ $120^\circ$ نسبت به شمال شرقی حرکت کند، این زاویه در ربع دوم قرار دارد. برای یافتن مولفههای سرعت در محورها، از سینوس و کسینوس با در نظر گرفتن علامت آنها در ربع دوم استفاده میشود. همچنین در فیزیک امواج، معادلهٔ یک موج سینوسی مانند $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ شامل فاز اولیه $\phi$ است که تعیین میکند نمودار موج از کدام ربع دایره مثلثاتی شروع شود. در مهندسی برق، جریان متناوب با فرم $I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ اغلب در ربع اول و دوم تحلیل میشود.
چالشهای مفهومی
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. اگر هر دو عدد منفی باشند، خارج قسمت آنها مثبت خواهد شد (زیرا منفی تقسیم بر منفی برابر مثبت است). بنابراین علامت مماس در ربع سوم برخلاف تصور ابتدایی، مثبت است.
بله. زوایای بزرگتر از $360^\circ$ با کم کردن $360^\circ$ (یا مضربی از آن) به زاویهٔ مادون $360^\circ$ تبدیل میشوند. $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$ که در ربع اول قرار دارد.
زوایای منفی در جهت عقربههای ساعت از محور $x$ مثبت اندازهگیری میشوند. $-50^\circ$ معادل $310^\circ$ است و در ربع چهارم قرار میگیرد. سینوس آن منفی، کسینوس آن مثبت و مماس آن منفی است.
پاورقی
1 دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع واحد که مرکز آن در مبدأ دستگاه مختصات قرار دارد و برای تعریف توابع مثلثاتی استفاده میشود.2 سینوس (Sine): تابع مثلثاتی که نسبت طول ضلع مقابل به وتر در مثلث قائمالزاویه است و در دایره واحد مختص $y$ نقطه روی دایره را نشان میدهد.
3 کسینوس (Cosine): تابع مثلثاتی که نسبت طول ضلع مجاور به وتر در مثلث قائمالزاویه است و در دایره واحد مختص $x$ نقطه روی دایره را نشان میدهد.
4 مماس (Tangent): تابع مثلثاتی حاصل از تقسیم سینوس بر کسینوس که برابر است با نسبت ضلع مقابل به مجاور در مثلث قائمالزاویه.
5 زاویه مرجع (Reference Angle): کوچکترین زاویه بین ضلع انتهایی یک زاویه و محور $x$ که همواره بین $0^\circ$ و $90^\circ$ قرار دارد.