لگاریتم اعشاری: درک پایه ۱۰ در ریاضیات دبیرستان
لگاریتم اعشاری چیست؟ تعریف و نمادگذاری
لگاریتم اعشاری1 لگاریتمی است که پایه آن عدد $10$ میباشد. در ریاضیات دبیرستان، وقتی مینویسیم $\log x$ بدون ذکر پایه، منظور همان پایه $10$ است. به عبارت دقیقتر:
که در آن $x > 0$ (عدد ورودی باید مثبت باشد) و $y$ هر عدد حقیقی است. برای نمونه، $\log 100 = 2$ زیرا $10^{2}=100$. همچنین $\log 0.001 = -3$ چون $10^{-3}=0.001$.
نکته مهم لگاریتم اعشاری برای اعداد بین $0$ و $1$ منفی است و برای اعداد بزرگتر از $1$ مثبت میشود. لگاریتم عدد $1$ برابر $0$ است.
قوانین طلایی لگاریتم اعشاری با مثال گامبهگام
برای کار با لگاریتم اعشاری باید سه قانون اصلی را به خاطر بسپارید. این قوانین از تعریف لگاریتم و ویژگیهای توانهای $10$ نتیجه میشوند.
مثال:$\log(200) = \log(2 \times 100) = \log 2 + \log 100 = 0.3010 + 2 = 2.3010$
مثال:$\log(0.5) = \log(\frac{1}{2}) = \log 1 - \log 2 = 0 - 0.3010 = -0.3010$
مثال:$\log(1000) = \log(10^{3}) = 3 \times \log 10 = 3 \times 1 = 3$
جدول مقادیر ویژه لگاریتم اعشاری
| عدد (x) | لگاریتم اعشاری (log x) | نمایش به صورت توان ۱۰ |
|---|---|---|
| $1$ | $0$ | $10^{0}=1$ |
| $10$ | $1$ | $10^{1}=10$ |
| $100$ | $2$ | $10^{2}=100$ |
| $1000$ | $3$ | $10^{3}=1000$ |
| $0.1$ | $-1$ | $10^{-1}=0.1$ |
| $0.01$ | $-2$ | $10^{-2}=0.01$ |
کاربرد عملی: مقیاس پیاچ و لگاریتم اعشاری
یکی از مهمترین کاربردهای لگاریتم اعشاری در شیمی، محاسبه پیاچ (pH) مواد است. پیاچ یک محلول، لگاریتم اعشاری منفی غلظت یون هیدرونیوم $[H_3O^+]$ بر حسب مول بر لیتر است:
مثال گامبهگام: فرض کنید غلظت یون هیدرونیوم در یک محلول $[H_3O^+] = 0.0001$ مول بر لیتر باشد. برای محاسبه پیاچ:
گام ۱: عدد را به صورت توان ده بنویسید: $0.0001 = 10^{-4}$
گام ۲: لگاریتم اعشاری آن: $\log_{10}(10^{-4}) = -4$
گام ۳: اعمال منفی در فرمول: $pH = -(-4) = 4$
بنابراین محلول اسیدی با پیاچ برابر $4$ است.
چالشهای مفهومی در لگاریتم اعشاری
پاسخ: چون لگاریتم اعشاری پاسخ این پرسش است که «۱۰ را به چه توانی برسانیم تا عدد منفی به دست آید؟». توانهای حقیقی عدد ۱۰ همواره مثبت هستند (حتی توان منفی نیز کسری مثبت میدهد). بنابراین هیچ عدد حقیقی مانند $y$ وجود ندارد که $10^{y} \lt 0$. به همین دلیل دامنه لگاریتم فقط اعداد مثبت است.
پاسخ: لگاریتم اعشاری پایه $10$ دارد و با $\log$ نشان داده میشود. لگاریتم طبیعی2 پایه عدد نشپر (e ≈ 2.718) دارد و با $\ln$ نمایش داده میشود. در دبیرستان معمولاً از لگاریتم اعشاری برای محاسبات عددی و از لگاریتم طبیعی برای مسائل رشد پیوسته و مشتقگیری استفاده میشود.
پاسخ: فرض کنید $\log a = m$ و $\log b = n$. آنگاه $a = 10^{m}$ و $b = 10^{n}$. پس $a \times b = 10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}$. حال با گرفتن لگاریتم از دو طرف: $\log(a \times b) = m+n = \log a + \log b$. این قاعده مستقیم از قانون ضرب توانها نتیجه میشود.
پاورقی
1 لگاریتم اعشاری (Common Logarithm): لگاریتم با پایه ثابت ۱۰ که در گذشته برای سادهسازی محاسبات با جدولهای لگاریتمی کاربرد گسترده داشت و امروزه نیز در علوم تجربی استفاده میشود.
2 لگاریتم طبیعی (Natural Logarithm): لگاریتم با پایه عدد نشپر (e ≈ 2.71828) که در ریاضیات محض، محاسبات دیفرانسیل و انتگرال و مدلسازی رشد پیوسته جمعیت و ورشکستگی رادیواکتیو کاربرد دارد.