قرینه نسبت به محور ایکسها
تعریف تبدیل قرینه نسبت به محور افقی
در دستگاه مختصات دکارتی، محور افقی را محور xها (یا محور طولها) مینامند. قرینه کردن یک نقطه یا یک نمودار نسبت به این محور، به معنای ساختن تصویر آینهای آن نقطه نسبت به خط افقی y = 0 است. اگر نقطهٔ (x, y) را در نظر بگیریم، قرینهٔ آن نسبت به محور x، نقطهٔ (x, -y) خواهد بود. به عبارت دیگر:
از آنجا که طول نقطه (x) بدون تغییر میماند و فقط عرض (y) تغییر علامت میدهد، این تبدیل را «تبدیل علامت عرض» نیز مینامند. اگر تابع اولیه به صورت y = f(x) باشد، نمودار قرینهٔ آن نسبت به محور xها توسط رابطهٔ y = -f(x) توصیف میشود.
تبدیل گامبهگام برای توابع مختلف
برای قرینه کردن نمودار هر تابع نسبت به محور xها، کافی است خروجی تابع (یعنی f(x)) را در -1 ضرب کنیم. در ادامه، این روند را برای سه نوع تابع مهم نشان میدهیم.
| نوع تابع | تابع اصلی y = f(x) | قرینه نسبت به محور x(y = -f(x)) |
|---|---|---|
| خطی | $ y = 2x + 1 $ | $ y = -2x - 1 $ |
| درجه دوم | $ y = x^2 - 4 $ | $ y = -x^2 + 4 $ |
| قدرمطلق | $ y = |x| $ | $ y = -|x| $ |
روش کار با جدول مقادیر (مثال عددی گامبهگام)
فرض کنید تابع $ y = x^2 $ را داریم. میخواهیم تصویر قرینهٔ آن را نسبت به محور xها رسم کنیم. گامها به صورت زیر است:
گام اول: چند نقطهٔ کلیدی روی نمودار اصلی انتخاب کنید. معمولاً نقاطی با x = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 مناسب هستند.
گام دوم: مقدار y را برای هر نقطه محاسبه کنید.
گام سوم: برای بدست آوردن نقاط قرینه، علامت y را تغییر دهید. x همان مقدار قبلی باقی میماند.
گام چهارم: نقاط جدید را در دستگاه مختصات رسم کرده و به هم وصل کنید.
| x | نقطه روی y = x^2 | نقطه قرینه روی y = -x^2 |
|---|---|---|
| -2 | (-2 , 4) | (-2 , -4) |
| -1 | (-1 , 1) | (-1 , -1) |
| 0 | (0 , 0) | (0 , 0) |
| 1 | (1 , 1) | (1 , -1) |
| 2 | (2 , 4) | (2 , -4) |
همانطور که میبینید، نقاط قرینه شده دقیقاً در طرف دیگر محور xها با فاصلهٔ یکسان قرار میگیرند. نقطهٔ (0,0) روی محور x قرار دارد، بنابراین قرینهٔ آن با خودش برابر است. به چنین نقطهای «نقطهٔ ثابت» در این تبدیل میگویند.
کاربرد عملی: حل معادله با استفاده از تقارن
یکی از کاربردهای مهم قرینه نسبت به محور xها، در حل معادلاتی است که به صورت $ f(x) = -g(x) $ ظاهر میشوند. این معادله را میتوان به صورت $ f(x) + g(x) = 0 $ نوشت، اما از نظر هندسی به معنای یافتن نقاطی است که نمودار $ y = f(x) $ با قرینهٔ نمودار $ y = g(x) $ نسبت به محور xها برخورد میکند.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. قرینه نسبت به محور xها معادل چرخش 180 درجه به دور محور x نیست. بلکه یک بازتاب (Reflection) ساده است. دوران 180 درجه نسبت به مبدأ مختصات، هم علامت x و هم علامت y را تغییر میدهد $(x , y) \to (-x , -y)$، در حالی که در بازتاب نسبت به محور x فقط y تغییر علامت میدهد.
پاسخ: تابعی که نمودار آن نسبت به محور xها قرینه است، در واقع تابعی است که با خودش قرینه باشد. چنین حالتی فقط زمانی رخ میدهد که $ f(x) = -f(x) $ برای تمام xهای دامنه، که نتیجه میدهد $ 2f(x) = 0 $ پس $ f(x) = 0 $ برای همه xها. بنابراین تنها تابع صفر (محور xها خودش) با این ویژگی است.
پاسخ: یک تابع زوج مانند $ y = \cos(x) $ نسبت به محور yها قرینه است. وقتی آن را نسبت به محور xها قرینه کنیم ($ y = -\cos(x) $)، تابع حاصل دیگر زوج نیست؟ چرا هنوز زوج است، زیرا $ -\cos(-x) = -\cos(x) $. در واقع بازتاب نسبت به محور افقی، زوجیت یا فردیت2 یک تابع را تغییر نمیدهد (فقط علامت کلی خروجی را عوض میکند).
جمعبندی
پاورقی
2 تابع فرد (Odd Function): تابعی که به ازای هر x در دامنهاش، شرط $ f(-x) = -f(x) $ برقرار باشد. نمودار آن نسبت به مبدأ مختصات متقارن است.